2
抛物线的解析式为：y=-x-x+2=-（x+
129）+，
42?y??x2?x?2由?， ?y??2x-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1， ∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称， ∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t， -x2-x+2=-2x+t， x2-x-2+t=0， △=1-4（t-2）=0， t=
9， 4当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0）， 把（1，0）代入y=-2x+t， t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜
9． 4
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，
），点M是抛物线C2：
y?mx2?2mx?3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求m的值． 【答案】（1）A（
，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为（3）m??【解析】 【分析】
27 162或m??1时，△BDM为直角三角形． 22（1）在y?mx?2mx?3m中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
222
（3）先表示出DM，BD，MB，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨
论即可求得m的值． 【详解】
解：（1）令y=0，则mx2?2mx?3m?0，
∵m＜0，∴x2?2x?3?0，解得：x1??1，x2?3． ∴A（
，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为y?a?x?1??x?3?（a?0）， 把C（0，?13）代入可得，a?． 22113?x?1??x?3?，即y?x2?x?． 222∴Ｃ1的表达式为：y?设P（p，
123p?p?）， 2234322∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=?（p?）?∵a??27． 163327<0，∴当p?时,S△PBC最大值为． 4216（3）由C2可知： B（3，0），D（0，?3m），M（1，?4m），
∴BD2=9m2?9，BM2=16m2?4，DM2=m2?1． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
222
当∠BMD=90°时，BM+ DM= BD，即16m2?4＋m2?1=9m2?9，
解得：m1??22,m2?(舍去)． 22222
当∠BDM=90°时，BD+ DM= BM，即9m2?9＋m2?1=16m2?4，
解得：m1??1，m2?1(舍去) ． 综上所述，m??2或m??1时，△BDM为直角三角形． 2
4．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
2
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；
（3）M1（1?131?13，0）、N1（13，﹣1）；M2（，0）、N2（1，﹣1）；M3
22（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）． 【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；
22
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点
D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
3m），代入所设解析式求解可得；
22
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x+2x+3）、Q（x，﹣x+2x+2），根据PQ=OA=1且
∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0）， ∴OA=1， ∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
?a?2a?c?0将A、C坐标代入y=ax﹣2ax+c，得：?，
c?3?2
?a??1解得：?，
c?3?∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， 所以点G的坐标为（1，4）；
22
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D=3B′D=3m，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m），
2
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）+4﹣k，得： 2???m?4?k?0， ?4?k?3m????m1?0?m2?3解得：?（舍），?，
k?4k?1??1?2∴k=1；
22
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x+2x+3）、Q（x，﹣x+2x+2），
∴PQ=OA=1，
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