2020届一轮复习人教版 离散型随机变量及其分布列 学案

第6节 离散型随机变量及其分布列

考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.

知 识 梳 理

1.离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称为离散型随机变量X的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3.常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为

，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.

(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，

n－kCkMCN－M则P(X＝k)＝Cn，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，

Nn，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.

X P 0 n－0C0MCN－M CnN1 n－1C1MCN－M CnN… … m n－mCmMCN－M CnN基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( )

(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.( )

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，

X P 则它服从两点分布.( )

(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.( )

解析 对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(选修2－3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是________. 答案 0，1，2

3.(选修2－3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为

X P 则常数q＝________.

22

解析 由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－2或q＝1＋2(舍去).

0 0.5 1 1－2q 2 q2 2 0.3 5 0.7 2

答案 1－2

4.(2019·菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( ) 1A.220

27B.55

27C.220

21D.55

1C2273C9解析 {X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝C3＝220.

12

答案 C

5.(2019·郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________. 解析 由已知得X的所有可能取值为0，1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1， 1得P(X＝0)＝3. 1答案 3

6.(2019·杭州二模改编)设随机变量X的概率分布列为

X P 则P(|X－3|＝1)＝________.

111111解析 由3＋m＋4＋6＝1，解得m＝4，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝4＋6＝512.

5

答案 12

考点一 离散型随机变量分布列的性质

k??X＝【例1】 设随机变量X的分布列为P?＝ak(k＝1，2，3，4，5). 5???

1 13 2 m 3 14 4 16 (1)求a的值； ?3?(2)求P?x≥5?；

??

7??1

(3)求P?10

??

1?2?3?4?????

X＝X＝X＝X＝???????解 (1)由分布列的性质，得P＋P(X＝1)＝5?＋P?5?＋P?5?＋P?5???

1

a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝15. 3?3?4?1114???

(2)P?X≥5?＝P?X＝5?＋P?X＝5?＋P(X＝1)＝3×15＋4×15＋5×15＝5. ??????

7?1?2?3?1232?1???

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

【训练1】 随机变量X的分布列如下：

X P －1 a 0 b 1 c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________. 1

解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝3，所21112

以P(|X|＝1)＝a＋c＝3.又a＝3－d，c＝3＋d，根据分布列的性质，得0≤3－d≤3，12110≤3＋d≤3，所以－3≤d≤3. 2?11?答案 3 ?－3，3?

??考点二 超几何分布的应用

典例迁移

【例2】 (经典母题)(2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，