三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.
求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC， PA⊥AC，AC＝平面ABC∩平面PAC， PA?平面PAC， ∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.(6分) 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAB. BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.(12分)
16．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
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证明：(1)∵E，F分别是AP，AD的中点， ∴EF∥PD.
又∵PD?平面PCD，EF?平面PCD. ∴直线EF∥平面PCD.(6分)
(2)连接BD.∵AB＝AD，∠BAD＝60°， ∴△ABD为正三角形．
又∵F是AD的中点，∴BF⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， BF?平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD.又BF?平面BEF， ∴平面BEF⊥平面PAD.(12分)
17．(12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.
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(1)求证：AF∥平面BDE； (2)求证：CF⊥平面BDE.
证明：(1)设AC与BD交于点G. 1
∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝2AC＝1， ∴四边形AGEF为平行四边形． 所以AF∥EG.
∵EG?平面BDE，AF?平面BDE， ∴AF∥平面BDE.(6分) (2)连接FG.
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1， ∴四边形CEFG为菱形． ∴CF⊥EG.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC. 又∵平面ACEF⊥平面ABCD， 且平面ACEF∩平面ABCD＝AC， ∴BD⊥平面ACEF. ∴CF⊥BD. 又BD∩EG＝G， ∴CF⊥平面BDE.(12分)
11
18．(14分)△ABC是正三角形，线段EA和DC都垂直于平面ABC.设＝AB＝2a，DC＝a，且F为BE的中点，如图．
(1)求证：DF∥平面ABC； (2)求证：AF⊥BD；
(3)求平面BDF与平面ABC所成锐二面角的大小．
解析：(1)证明：如图所示，取AB的中点G，连接CG，∵EF＝FB，AG＝GB， ∴FG綊1
2EA.
又DC綊1
2EA，∴FG綊DC. ∴四边形CDFG为平行四边形， 故DF∥CG.
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC， ∴DF∥平面ABC.(4分)
(2)证明：∵EA⊥平面ABC，∴EA⊥CG. 又△ABC是正三角形，
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FG. EA
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