直线AB的斜率k==，
即有直线AB的方程为4x﹣5y+4=0； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），
2
设直线BC：x=my+1，代入抛物线方程y=4x，可得 2
y﹣4my﹣4=0，可得﹣y1y2=﹣4，即y1y2=4， 再设直线AB：y=kx+n，代入抛物线方程，可得 ky﹣4y+4n=0，y1y2=
2
=4，即n=k，
则有直线AB：y=k（x+1），即有直线AB恒过定点E（﹣1，0）， 则S△ABO=|OE|?|y2﹣y1|=|y2﹣y1|， S△CFO=|OF|?|y1|=|y1|，
2
2
2
2
2
即有S1+S2=（y2﹣y1）+y1==（2y1+
﹣8）
≥（2﹣8）=2﹣2．
即有S1+S2的最小值为2
22
﹣2，当且仅当y1=，y2=
．
点评： 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题． 20．（14分）设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R （Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；
（Ⅱ）若对于给定的实数a（a≥2），存在实数b，对于任意实数x∈，都有不等式|f（x）|≤恒成立，求实数a的取值范围．
考点： 函数恒成立问题；二次函数的性质．
专题： 转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
2
分析： （Ⅰ）把函数（fx）=x|x﹣a|+b分段写出，然后根据b的范围讨论出方程x﹣ax+b=0的解得个数，进一步得到在不同条件下的函数f（x）的零点个数
（Ⅱ）记g（x）=f（x）﹣x=，把问题转化为当2a﹣
1≤x≤2a+1时，g（x）max﹣g（x）min≤1．最大实数b即为时的b的值．
令T=g（x）max﹣g（x）min，然后对a分类判断g（x）在不同区间上的单调性，并分类求得T值，由T＜1求得a的范围，进一步求得实数a的取值范围．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=x|x﹣a|+b=，
∵a＞0，
22
∴当b＞0时，x﹣ax+b=0在x≥a上无解，﹣x+ax+b=0在x＜a上恰有一解；
22
当b=0时，x﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，﹣x+ax+b=0在x＜a上恰有一解；
222
当b＜0时，x﹣ax+b=0在x≥a恰有一解，若△=a+4b＜0，则﹣x+ax+b=0在x＜a上无解；
2222
若△=a+4b=0，则﹣x+ax+b=0在x＜a上恰有一解；若△=a+4b＞0，则﹣x+ax+b=0在x＜a上有两个不同解； 综上，在a＞0的条件下，
2
当b＞0或a+4b＜0时，函数f（x）有一个零点；
2
当b=0或a+4b=0时，函数f（x）有两个零点； 当
时，函数f（x）有三个零点．
（Ⅱ）记g（x）=f（x）﹣x=
原问题等价于：当2a﹣1≤x≤2a+1时，g（x）max﹣g（x）min≤1． 最大实数b即为
令T=g（x）max﹣g（x）min， 由已知可得：2a+1＞a，2a﹣1（1）当
时，
，
，
时的b的值．
，
∴g（x）在上为增函数，在上为减函数，
，
g（x）min=min{g（2a﹣1），g（2a+1）}=g（2a﹣1）=﹣2a+a+b， ∴解得：（2）当
，从而无解； 时，
， ．
2
∴g（x）在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， ∴当2a﹣1≤x≤2a+1时， g（x）max=max{g（
），g（2a+1）}=
．
g（x）min=min{g（2a﹣1），g（
）}=．
∴．
由T＜1，解得：此时最大的b满足
．
．
从而．
∴m（a）=
m（a）的取值范围是[
）．
．
点评： 此题是个难题，考查函数的性质及其应用，考查判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中又注重了分类讨论的数学思想方法，题目的难度大，综合性强．
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