参考答案
一．选择题（每小题4分，共40分）
1. B 2.D 3.A 4.C 5.D 6. D 7.D 8.C 9.C 10.D 二．填空题（多空题每题6分，单空题每题4分） 12. ?75；-2 11. 13. 0； 27 14. -1；223 49三．660 16. ?0,2???4,??? 17. -16,234 三．解答题
18．（本题14分）本题主要考查正、余弦定理及三角函数的性质等基础知识，同时考查运算求解能力。
解：（1） 2asinB?3b?0 由正弦定理，
得：2sinA?sinB?3sinB,sinB?0…………………3分
所以sinA?所以，A?（2）
3， …………………5分 2或A??3A??32? …………………7分 322? …………………9分 ?B?C?? 得：0?B?33y?3sinB?sin(C?)?3sinB?sin(?B) 62???3sinB?cosB?2sin(B?) ………………12分
62???5??1B?(0,),B??(,),?sin(B?)?(,1]
366662所以，所求函数的最大值为2 ………………14分
19．（本题15分）本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考 查空间想象能力和推理论证能力。
解： (1)证明：在四棱锥P－ABCD中，连结AC交BD于点O，连结OM，PO。 由条件可得PO＝2，AC＝22，PA＝PC＝2，CO＝AO＝2．
N D O A B (第19题)
P E M ?C
因为在△PAC中，M为PC的中点，O为AC的中点， 所以OM为△PAC的中位线，得OM∥AP，…………3分 又因为AP?平面MDB，OM?平面MDB， 所以PA∥平面MDB． …………6分
(2) 解：设NC∩MO＝E，由题意得BP＝BC＝2，且∠CPN＝90°． 因为M为PC的中点，所以PC⊥BM，
同理PC⊥DM，故PC⊥平面BMD．…………9分 所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM，
∠MEC为直线CN与平面BMD所成的角，…………11分 又因为OM∥PA，所以∠PNC＝∠MEC． 在Rt△CPN中，CP＝2，NP＝1，所以NC＝5
PC2?5， NC52故直线 CN与平面BMD所成角的正弦值为5 …………15分
5所以tan∠PNC＝sin?PNC?20.（本题15分）本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式 等基础知识，同时考查运算求解能力。
解：（1）设等比数列{an}的首项为a1(a1?0)，公比为q(q?0)，
?a1q?a1q3?a1q5?11， ……………… 3分 则由条件得?2???aq2aq3aq411?111，则an?n ………… 5分 22a1(1-qn)1由等比数列前n项和公式得Sn==1-n ………………7分
1-q2解得a1?q?1a1(1-qn)1（2）由（Ⅰ）知Sn==1-n 又Tn?()21-q2n(n?1)2 ………………10分
若存在正整数k，使得不等式Sn?k?12n?k1?()2n(n?1)?22Tn?1对任意的n∈N*都成立， 4则1?
?1，即k?n(n?1)?2，正整数k只有取k?1………………15分 2
a－b＝3，??
21．(1)由题意得?13
2＋2＝1，??a4bx2
2
22
解得a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程是＋y＝1. …………………4分
4
y＝kx－1??2
(2)由?x2
＋y＝1??4
2
得(1＋4k)x－8kx＋4k－4＝0.
2222
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
8k4k－4
x1＋x2＝2，x1x2＝2，
1＋4k1＋4k2
y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝
－2k2. 1＋4k2
4k－k 所以线段AB的中点坐标为(2，2)，…………8分
1＋4k1＋4k－k14k3k y－＝－(x－)． 若y＝0，则x＝222.
1＋4kk1＋4k1＋4k3k 于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q(2，0)， ………10分
1＋4k3k1＋k 又点P(1,0)， 所以|PQ|＝|1－2|＝2.
1＋4k1＋4k 又|AB|=
1＋k4
|AB|
于是，＝
|PQ|
2
2
22
2
2
8k[2
1＋4k2
2
2
4k－44 －4·2]＝
1＋4k2
22
1＋k1＋3k2
1＋4k22
………12分
1＋k1＋3k2
1＋4k2
1＋k2
1＋4k＝4 1＋3k2＝4 1＋k23－2. ………14分 1＋k 因为k≠0，所以1<3－
2|AB|
的取值范围为(4,43)． ……15分 2<3，所以
1＋k|PQ|
22.本题主要考查二次函数、二次方程及函数的单调性、恒成立问题知识点，同时考查运算求解能力。
解：（1）当a??1时，， 故有
?2x2?1,x??1f(x)??， …………… 2分
x??1?1,2当x??1时，由f(x)?1，有2x?1?1，解得x?1或x??1 …………… 3分
当x??1时，f(x)?1恒成立 ……………4分 ∴ 方程的解集为{x|x??1或x?1} ……………5分
f(x)?x2?(x?1)|x?1|
?2x2?(a?1)x?a,x?a（2）f(x)??， …………… 7分
x?a?(a?1)x?a,若f(x)在R上单调递增，则有
?a?1?a1?， 解得，a? …………… 9分 ?43??a?1?0∴ 当a?1时，f(x)在R上单调递增 …………… 10分 3（3）设g(x)?f(x)?(2x?3)
?2x2?(a?3)x?a?3,x?a则g(x)?? ……………11分
x?a?(a?1)x?a?3,不等式f(x)?2x?3对一切实数x?R恒成立，等价于不等式g(x)?0对一切实数x?R恒成立．
a?1，?当x?(??,a)时，g(x)单调递减，其值域为(a2?2a?3,??)，
由于a?2a?3?(a?1)?2?2，所以g(x)?0成立． ……………12分 当x?[a,??)时，由a?1，知a?
22a?3a?3， g(x)在x?处取最小值， 44
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