全优试卷
?2cosCsin?A?C??sinB?0，即?2cosCsinB?sinB?0
1又0?B?180，?sinB?0，?cosC??，即C?120. …………6分
2（2）由余弦定理可得23??2?a2?22?2?2acos120?a2?2a?4， …………9分
ABC 又a?0，a?2，?S?1absinC?3，?ABC的面积为3.………12分 2
18（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，由S3?S4?S5可得a1?a2?a3?a5，------- 2分 即3a2?a5，所以3(1?d)?1?4d，解得d?2．------------ 4分 ? an?1?(n?1)?2?2n?1．------------ 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：bn?(?1)n?1?(2n?1)(2n?1)?(?1)n?1?(4n2?1).------------ 7分
?
2T2n?(4?12?1)?(4?22?1)?(4?32?1)?(4?42?1)??(?1)2n?1???4?(2n)?1??
2222?4??1?2?3?4??(2n?1)2?(2n)2??------------ 9分
??4(1?2?3?4??2n?1?2n)??4?2n(2n?1)??8n2?4n．------ 12分 2
19.解：（1）取AB中点O，连接AC、CO、PO， ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∴AB?BC?2． ∵?ABC?60，∴?ABC是等边三角形．
∴CO?AB，OC?3． ……2分
zPA1D∵PA?PB，∴PO?AB?1． C2x222∵PC?2，∴OP?OC?PC．∴CO?PO． ……4分 ∵ABPO?O，∴CO?平面PAB．
∵CO?平面ABCD，∴平面PAB?平面ABCD． ……5分
222222（2）∵OP?OA?1?1?(2)?PA，∴PO?AO． 由（1）知，平面PAB?平面ABCD，∴PO?平面ABCD，
∴直线OC,OB,OP两两垂直．以O为原点建立空间直角坐标系O?xyz，如图，
则O(0,0,0),A(0,?1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),D(3,?2,0),P(0,0,1)．
OBy∴AP?(0,1,1),PC?(3,0,?1),DC?(0,2,0)． ……6分 设平面APC的法向量为m?(x,y,z)，
???m?AP?0?y?z?0由?，得?，取x?1，得m?(1,?3,3)， ……8分
3x?z?0????m?PC?0???n?PC?0?3x?z?0设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)，由?，得?，
???2y?0?n?DC?0取x?1，得n?(1,0,3)， ……10分
∴cos?m,n??m?n27?，由图可知二面角A?PC?D为锐二面角，∴二面角
m?n7全优试卷
A?PC?D的的余弦值为27． ……12分 7
20.解：（1）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，所以 CP?QC?QP?QC?Q2?A2? C2?A 所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，……2分
?a?2，c?1，b?a2?c2?1 ……3分
x2?y2?1 ……4分 故点Q的轨迹方程是2 （2）设直线l:y?kx?b，F?x1,y1?,H?x2,y2?
直线l与圆x?y?1相切?22bk2?1?1?b2?k2?1 ……5分
?x2??y2?1联立?2??1?2k2?x2?4kbx?2b2?2?0 ……6分
?y?kx?b???16k2b2?4?1?2k2?2?b2?1??8(2k2?b2?1)?8k2?0?k?0 ……7分 4kb2b2?2x1?x2??,x1x2? ……8分
1?2k21?2k2OF?OH?x1x2?y1y2??1?k2?x1x2?kb(x1?x2)?b2 ……9分 (1?k2)(2b2?2)(?4kb)2(1?k2)2k24k2(k2?1)2?kb?b???k?1 ?22221?2k1?2k1?2k1?2k1?k2? ……10分 1?2k231?k24112?所以? ??k?41?2k2532322332??k????k??或?k?为所求. ……12分
322332
21.解：（1）f'?x??2ex?x?a，
??y?f?x?的图象在x?0处的切线与x轴平行，
即在x?0处的切线的斜率为0，即f'?0??2?a?1??0，?a??1 ……4分 （2）f′(x)＝2(ex－x＋a)，又令h(x)＝2(ex－x＋a)，则h′(x)＝2(ex－1)≥0，
∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)． ……5分 ①当a≥－1时，f′(x)≥0恒成立，即函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
从而必须满足f(0)＝5－a2≥0，解得－5≤a≤5，又a≥－1，∴－1≤a≤5. ……8分 ②当a<－1时，则存在x0>0，使h(x0)＝0且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即f′(x)<0， 即f(x)单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即f′(x)>0，即f(x)单调递增． ∴f(x)min＝f(x0)＝2ex0－(x0－a)2＋3≥0，
又h(x0)＝2(ex0－x0＋a)＝0，从而2 ex0－(ex0)2＋3≥0, 解得0 全优试卷 由ex0＝x0－a?a＝x0－ex0，令M(x)＝x－ex，0 故ln 3－3≤a<－1. ……11分 综上，ln 3－3≤a≤5. ……12分 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 ?2?x?2cos?y2x（22）解：（1）曲线C：?可化为??1，其轨迹为椭圆， 43??y?3sin?焦点为F,0?． …………2分 1??1,0?和F2?1y?1，即3x?y?3?0，……4分 经过A0,3和F2?1,0?的直线方程为x?3?极坐标方程为3?cos???sin??3. …………5分 ??（2）由（1）知，直线AF2的斜率为?3，因为l⊥AF2，所以l的斜率为3，倾斜角为3?3tx??1??230°，所以l的参数方程为?（t为参数）， …………6分 ?y?1t?2代入椭圆C的方程中，得13t2?123t?36?0． …………8分 因为M，N在点F1的两侧，所以|MF1|?|NF1|?t1?t2?123 …………10分 13?5?2x?x??1??23.解：（1）当m?5时，f(x)??3??1?x?1?， ……………3分 ??5?2x?x?1??22（2）由二次函数y?x?2x?3?(x?1)?2，该函数在x??1取得最小值2， 由f(x)?2得不等式的解集为?x??3?x?23??. ……………5分 2??m?2x?x??1??因为f(x)??m?2??1?x?1?，在x??1处取得最大值m?2， ……8分 ??m?2x?x?1?2所以要使二次函数y?x?2x?3与函数y?f(x)的图象恒有公共点， 只需m?2?2，即m?4. ………10分
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