2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
?1．若f(x)?x??x??lnx，则f'(x)??的解集为
（-?，?）?（，?+?） A. (?,??) B. C. (?,??) D. (-?,?)(2011年高考江西卷理科4)
2．已知函数y?f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(??,0) 时不等式f(x)?xf(x)?0成立， 若a?3'0.3f(30.3)，b?(log?3)f(log?3),
11c?(log3)f(log3)，则a,b,c的大小关系是
99
（ ）
B．c?b?a
A．a?b?c 答案 C 二、填空题
C．c?a?b D．a?c?b
12?(x?)?1(x?0)?323．已知函数f(x)?x?3x?1,g(x)??，则方程g[f(x)]?a?0（a为正实数）2??(x?3)2?1(x?0)?的实数根最多有 ▲ 个
4．设函数f(x)在其定义域D上的导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈D都1
有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．给出下列四个函数：①f(x)＝3x3－x2x2＋x42x
＋x＋1；②f(x)＝lnx＋；③f(x)＝(x－4x＋5)e；④f(x)＝，其中具有性质P(2)的函数是 ．(写出
x＋12x＋1所有满足条件的函数的序号)
25．已知函数f(x)?mx?lnx?2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围 ☆ ；
/6．已知定义在R上的可导函数y?f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)?f(x)且y?f(x?1)为偶函
/数，f(2)?1，则不等式f(x)?e的解集为 ▲ .
x?ax2?bx?c x??17．已知函数f(x)??，其图象在点(1,f(1))处的切线方程为y?2x?1,
f(?x?2) x??1?则它在点(?3,f(?3))处的切线方程为 ▲
8．如图为函数f(x)?ax?bx?cx?d的图象，
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32f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x?f'(x)?0的解集为
______．
答案 (??,?3)?(0,3) 9．设函数f(x)?y______ c2osx?xt42si?n3t?2，其中tR3?x()-3o3|t|?1，将
xf(x)的最小值记为g(t),则函数g(t)的单调递增区间为
10．已知函数f(x)?x?3x,求函数f(x)在[?3,]上的最大值和最小值.
23______ .
3211．若函数f(x)?(m?m?2)x?m?1在(??,??)上单调递减,则实数m的取值范围是 . 12．函数f(x)?x?15x?33x?6的单调减区间为 .
13．若函数f(x)?x?3ax?1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围 (-1,1) 。
三、解答题
14．已知函数f（x）=e＋ax-ex，a∈R.
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P. 【2012高考真题福建理20】（本小题满分14分）
15．已知f(x)?x?bx?c为偶函数，曲线y?f(x)过点(2,5)，g(x)?(x?a)f(x)． （Ⅰ）求曲线y?g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若当x??1时函数y?g(x)取得极值，确定y?g(x)的单调区间．
16．已知函数f(x)?x?2x
2
32322?1?alnx，a＞0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x2（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求f(x)在区间{1，e}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。 17．已知a是实数，函数f(x)?小值.
（i）写出g(a)的表达式；（ii）求a的取值范围，使得?6?g(a)??2.
x(x?a).⑴求函数f(x)的单调区间；⑵设g(x)为f(x)在区间?0,2?上的最
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18．设函数f?x??sinx?cosx?x?1，0?x?2?，求函数f?x?的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数f?x??sinx?cosx?x?1求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，?）与（3?，2?），23?3?3?单调递增区间是（?，），极小值为f()=，极大值为f(?)=??2222极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点. 19．已知函数f(x)?x(x?a)(x?b)，点As,f?s?,Bt,f?t?. 【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的 ????（Ⅰ）若a?0，b?3，函数f(x)在(t,t?3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围； （Ⅱ）当a?0时， f(x)?1??lnx?1?0对任意的x??,???恒成立，求b的取值范围； x?2?（Ⅲ）若0?a?b，函数f(x)在x?s和x?t处取得极值，且a?b?23，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直. 20．已知f(x)?ax?3x?x?1，a?R． （Ⅰ）当a??3时，求证：f(x)在R上是减函数； （Ⅱ）如果对?x?R不等式f?(x)?4x恒成立，求实数a的取值范围． 21．函数f(x)?lnx?32a(x?1)(x?0,a?R)。 x （1）试求f(x)的单调区间； （2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1； 第 3 页,共 5页 （3）求证：不等式4、 111??对于x?(1,2)恒成立。 lnxx?12222．设常数a?0，函数f(x)?x?lnx?2alnx?1(x?(0,??)). （Ⅰ）令g(x)?xf?(x)(x?0)，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小； （Ⅱ）求证：f(x)在(0,??)上是增函数； （Ⅲ）求证：当x?1时，恒有x?lnx?2alnx?1． 23．已知函数f(x)?lnx?ax，a为常数. （1）若函数f(x)在x?1处的切线与x轴平行，求a的值； （2）当a=1时，试比较f?m?与f?2?1??的大小； m??2（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2?e.(本小题满分16分) 24．已知函数f(x)?x?ax(x?0且x≠1)． lnx(1)若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值； (2)若?x1,x2?[e,e2]，使f(x1)≤f?(x2)?a成立，求实数a的取值范围． 25．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为 V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000?元(?为圆周率). (Ⅰ)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;zhangwlx (Ⅱ)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.zhangwlx（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分) ?x2?2x?a,x?026．已知函数f(x)??,其中a是实数.设 lnx,x?0?A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1?x2. (1)指出函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2?0,求x2?x1的最小值； (3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围．（本题满分16分） 第 4 页,共 5页 ??x3?x2,x?127．已知函数f(x)??． alnx,x?1?（1）求f(x)在[?1,e]（e为自然对数的底数）上的最大值； （2）对任意给定的正实数a，曲线y?f(x)上是否存在两点P,Q，使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？ 528．已知函数f(x)?x3?x2?ax?b（a，b为常数），其图象是曲线C． 2（1）当a??2时，求函数f(x)的单调减区间； （2）设函数f(x)的导函数为f?(x)，若存在唯一的实数x0，使得f(x0)?x0与f?(x0)?0同时成立，求实数 b的取值范围； （3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线 C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数?，使得k2??k1？若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．(本小题满分16分) 2a,a?R． x（1）若函数f(x)在[2,??)上是增函数，求实数a的取值范围； 29．（本题16分）已知函数f(x)?lnx?（2）若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3，求实数a的值． 30．设函数f(x)?(x2?ax?a)e?x，其中x?R，a是实常数，e是自然对数的底数． （1）确定a的值，使f(x)的极小值为0； （2）证明：当且仅当a?3时，f(x)的极大值为3； （3）讨论关于x的方程f(x)?f'(x)?2xe?x?x?2(x?0)的实数根的个数． 第 5 页,共 5页
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