一阶微分方程的初等解法

一阶微分方程的初等解法

摘要：本文对一阶常微分方程的初等解法作了简要的总结，并分析了变量分离方程，线性微分方程，恰当微分方程，一阶隐式方程的初等解法。

关键词：变量分离常数变易法恰当微分方程

积分因子一阶隐式微分方程

一．变量分离方程

（一）可分离变量方程类型

dy?f(x)?(y)的方程，称为变量分离方程。这里f(x)，?(y)分别是定义：形如dxx，y的连续函数.

解法:

(1) 如果?(y)?0，分离变量，可将方程化为

dy?f(x)dx的形式. ?(y)(2) “分离”之后两边积分，得到.?dy?f(x)dx?c ?(y)?(3) 求出积分，得出通解.

（二）可化为变量分离方程的两种简单情形 1.形如

dy?y??g??的方程，称为齐次微分方程，这里g(u)是u的连续函数. dx?x?y，即y?ux.① xdydu?x?u.② (2)上式两边对x求导，得dxdxdudug(u)?u?u?g(u)，整理可得?(3)①②代入原方程可化为x. dxdxx然后再按照变量分离的方法求解.

(1)作变量变换，令u?2.形如

dya1x?b1y?c1的方程，这里a1，a2，b1，b2，c1，c2均是常数. ?dxa2x?b2y?c2(1)

a1b1c1???k（常数）情形. a2b2c2将方程化为

dy?k， dx有通解y?kx?c（c为任意常数）. (2)

a1b1c??k?1情形. a2b2c2ku?c1dudy是分离方程. ?a2?b2?a2?b2dxdxu?c2令u?a2x?b2y，有

a1b1?情形. a2b2(3)

则a1x?b1y?c1?0

a2x?b2y?c2?0

代表Oxy平面上两条相交直线，设交点为??,??. 令

X?x??Y?y??

则化为

a1X?bY1?0a2X?b2Y?0

变为

dya1X?bY?Y?1??g?? dxa2X?b2Y?X?求解上述变量分离方程，最后带回原变量即可得原方程的解. 二．线性微分方程 1.定义

dydy?P(x)y?Q(x).若Q(x)=0,则变为?P(x)y，称为一阶(1)一阶线性微分方程dxdx齐次微分方程.

通过变量分离，可求出它的通解为y?ce?P(x)dx.

(2)若Q(x)?0，称为一阶非齐次微分方程. 下面讨论非齐次线性微分方程的解法： 令y?c(x)e?得到

P(x)dx

P(x)dxP(x)dxdydc(x)?P(x)dx?P(x)c(x)e??Q(x) ?e?c(x)P(x)e?dxdx即

?P(x)dxdc(x)?Q(x)e? dx?P(x)dx? 积分后可得c(x)??Q(x)e?dx?c得到方程通解为y?e?P(x)dx?P(x)dx?) (?Q(x)e?dx?c这种将常数变易为待定函数的方法，被称为常数变易法.常数变易法实际上是

一种变量变换的方法，通过变换可将方程化为变量分离方程. 2.伯努利微分方程

dy?P(x)y?Q(x)yn的方程，这里P(x)，Q(x)为x的连续函数，n?0,1是常形如dx数.

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)1?nz?ydx解法：引入变量变换，化为来求解

此外，当n?0时，方程还有解y?0. 分析：方程两边同乘以y得

?ny?ndy?P(x)y?n?Q(x)dx

两边同乘以（1-n）得

(1?n)y?ndy?(1?n)P(x)y1?n?(1?n)Q(x)dx

dy1?n?(1?n)P(x)y1?n?(1?n)Q(x)dx

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)1?nz?ydx令则有.

三．恰当微分方程

dy1.我们将一阶方程?f(x,y)写成微分的形式f(x,y)dx?dy?0，或把x，y平等

dx看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程

M(x,y)dx?N(x,y)?0①，

如果方程左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分， 即M(x,y)dx?N(x,y)?du(x,y)?则称为恰当微分方程.

通解为u(x,y)?c.（c为任意常数）.

⑴如何判别方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0①是恰当方程？

?u?udx?dy ?x?y?u?u?M(x,y),?N(x,y)?x?y若方程①是恰当方程： ?u?M?u?N?M?N?,?,则??x?y?x?y?y?x?x?y?x， ?M?N??y?x成立， 反之，若

?u?u?M(x,y),?N(x,y)?x?y u(x,y)??M(x,y)dx??(y)则

??M(x,y)dxd?(y)?N(x,y)?则 dy?y再证右端与x无关，

??N?????N?M???N?M(x,y)dx??M(x,y)dx??x?x??y????x??y?0??x??y???? 综上所述得方程①是恰当方程. ⑵若方程①是恰当方程，如何求u(x,y). 分项组合

如：ydx?xdy?d(xy)；

?x?ydx?xdy?d??y2?y?；

?ydx?xdy?y??d??x2?x?；

?x?ydx?xdy?d?In?xy?y?；

?ydx?xdyx??darctan??x2?y2y?； ?ydx?xdy1?x?y?d?Inx2?y22?x?y2.积分因子

??;?

如果存在连续可微的函数???(x,y)?0，使得