第4讲 函数与导数教师版

第4讲 函数与导数教师版

1.设f(x)?A．55． x2?1，则f'(2)?（C ）

55 B．? C．25 D．3

552.若函数y?x3?log2x?e?x，则y?? （ C ）

1411111?e?x C. 3x2??e?x D. 3x2??e?x A. x4??e?x B. x?4xln2xln2xln24xln23.函数y?sinx的导数为_________________.xcosx?sinx xx224.函数y?e2x?1导数是 。4xe2x2?1

5.若函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)，且f?(x)是函数f(x)的导函数，则

f?(1)? （ A ） A．24

B．﹣24 C．10 D．﹣10

6.设函数f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)，（a、b、c 是两两不等的常数）， 则

abc??? 0 . f?(a)f?(b)f?(c)7.已知f1(x)?sinx?coxs，fn?1?x?是fn?x?的导函数，即f2?x??f1??x?，

f3?x??f2??x?，…，fn?1?x??fn??x?，n?N*，则f2014(x)? （ A ）

Ａ．sinx?cosx Ｂ．sinx?cosx Ｃ．?sinx?cosx Ｄ．?sinx?cosx 8.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f?(x)?0，则必有( C ) A．f(0)?f(2)?2f(1) B．f(0)?f(2)?2f(1) C．f(0)?f(2)?2f(1) D．f(0)?f(2)?2f(1) 9.若S1??21x2dx,S2??2121dx,S3??exdx,则S1S2S3的大小关系为（ D ）

1xA．S1?S2?S3 B．S2?S1?S3 C．S2?S3?S1 D．S3?S2?S1

10.若

f?x??2xf??1??x2则f??0?? .-4 11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)?2xf'(1)?lnx，则f′(x)= -1 ． 12.函数f?x??x?2xf'??1?,则f3'??1?的值是 -3 ．

213.若f(x)在R上可导,f(x)?x?2f'(2)x?3,则

?30f(x)dx?____-18________.

14.若f(x)?x3?3ax2?3(a?2)x?1有极值，则a的取值范围是 a<-1或a>2

15.[2014·广东卷] 曲线y＝e5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．y＝－5x＋3

－

16．[2014·江西卷] 若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．(－ln 2，2)

－

17．[2014·全国卷] 曲线y＝xex1在点(1，1)处切线的斜率等于( C )

A．2e B．e C．2 D．1 18．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( D ) A．0 B．1 C．2 D．3

11

19．[2014·内江模拟] 已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为( A )

32

1111

A．c＜ B．c≤ C．c≥ D．c＞

4444

20．[2014·青岛期中] 若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则a的取值范围是( B )

111

A．a> B．a>或a<－1 C．－1

555

21.[2014·福建卷] 如图1-4，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，

－

2

则它落到阴影部分的概率为___2_____．

e

图1-4

22．[2014·山东卷] 直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D )

A. 2

2 B. 4

2 C. 2 D. 4

1

1＋?dx＝________．1＋ln 2 23．[2014·福建闽南期末] 计算：?2??x?

?1

24.[2014·江西卷] 若f(x)＝x2＋2?1f(x)dx，则?1f(x)dx＝( B )

?0?0

11

A．－1 B．－ C. D．1

33

25．[2014·陕西卷] 定积分?1(2x＋ex)dx的值为( C )

?0

A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1

27.设函数f(x)?x3?6x?5,x?R

（1）求f(x)的单调区间和极值；

（2）若直线y=a与y?f(x)的图像有三个不同的交点，求实数a的取值范围; （3）已知当x?(1,??)时,f(x)?k(x?1)恒成立，求实数k的取值范围. 解:（1）f?(x)?3(x2?2),令f?(x)?0,得x1??2,x2?2 …………………1分

∴当x??2或x?2时,f?(x)?0;当?2?x?2时,f?(x)?0，…………………2分

∴f(x)的单调递增区间是(??,?2)和(2,??)，单调递减区间是(?2,2)……3分 当x??2,f(x)有极大值5?42；当x?2,f(x)有极小值5?42.…………4分

（2）由（1）可知y?f(x)图象的大致形状及走向（图略）

∴当5?42?a?5?42时,直线y?a与y?f(x)的图象有3个不同交点，……7分 （3）f(x)?k(x?1)即(x?1)(x2?x?5)?k(x?1)

∵x?1,?k?x2?x?5在(1,??)上恒成立. …………………………………………9分 令g(x)?x2?x?5，由二次函数的性质，g(x)在(1,??)上是增函数，

∴g(x)?g(1)??3,∴所求k的取值范围是

k??3……………………………………12分

26.求函数f(x)?xlnx的单调区间和极值。

2f(x)在（0，e）上递减，在（e，+?）上递增。解:.

?12?121y极小值=f(e)=-2e?12

29．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)1－2x(b∈R)．

(1)当b＝4时，求f(x)的极值；

1

0，?上单调递增，求b的取值范围． (2)若f(x)在区间??3?解: (1)当b＝4时，f′(x)＝

－5x（x＋2）

，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.

1－2x

所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调1

0，?时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在递增；当x∈??2?x＝0处取得极大值f(0)＝4.

－x[5x＋（3b－2）]1－x

0，?时，(2)f′(x)＝，易知当x∈?<0， ?3?1－2x1－2x

151

0，?时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤. 依题意当x∈??3?391

－∞，?. 所以b的取值范围为?9??

28.已知函数f(x)＝(ax＋x－1)e其中e是自然对数的底数a∈R. (1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a<0，求f(x)的单调区间；

(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数g(x)?求实数m的取值范围．

解: (1)a＝1时，f(x)＝(x＋x－1)e，

所以f′(x)＝(2x＋1)e＋(x＋x－1)e＝(x＋3x)e， 所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e. 又因为f(1)＝e，

所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0. (2)f′(x)＝(2ax＋1)e＋(ax＋x－1)e＝[ax＋(2a＋1)x]e， （1）若?x

2

x

2

x

x

2

x

2

x

2

x

2x

1312x?x?m的图象有3个不同的交点，3212a?1?a?0,当x?0或x??时, f′(x)<0,所以f（x）的单调递减区间为2a2a?12a?1???，单调递增区间为???,0?,??,??0,?????

?a??a? （2）若a=? (3) a??112x，则f′(x)＝?xe?0，所以f（x）的单调递增区间为R 2212a?1,当x??或x?0, f′(x)<0，所以f（x）的递减区间2a2a?1???2a?1?单调递增区间为??,0,???,0? ???,???aa????（3）由（2）已知f(x)＝(-x＋x－1)e在???,?1?递减，在??1,0?递增，在?0,???上单调

2

x

递减，所以f（x）在x= -1处取得极小值?3，在x=0取得极大值-1 eg（x）经过分析在在???,?1?递增，在??1,0?递减，在?0,???上单调递增 故g（x）在x=-1取得极大值在

1?m，在x=0取得极小值m 631??m??1 e6因为函数f（x）与g（x）图像有3个不同的交点。 所以f(?1)?g(?1)且f(0)?g(0) ,所以?