第六单元 圆
第23讲 圆的基本性质 命题点 近8年的命题形式 2016(T25解)，2014(T25解)， 2013(T14选)，2012(T5选)， 2011(T25解) 考查方向 高频考点垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，它可以串联弦、弧、角、图形的大小和位置关系，常与圆的相关知识综合，为进一步探索提供数据支持. 考查的频率较低，常与其他有关“角”的知识内容串联，作为圆大题的补充．题型多以选择题和填空题为主.
命题点1 垂径定理
1．(2012·河北T5·2分)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)
垂径定理 圆周角定理 2011(T16填)
A．AE>BE ︵︵B.AD＝BC 1
C．∠D＝∠AEC
2D．△ADE∽△CBE
命题点2 圆周角定理
︵
2．(2011·河北T16·3分)如图，点O为优弧AB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D＝27°．
重难点1 垂径定理及其应用
已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2. (1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝8；
图1 图2 图3 图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝5；
1
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝91； ②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝82．
【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】 (2018·襄阳)如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为(D)
A．4 B．22 C.3 D．23
【变式训练2】 【分类讨论思想】(2018·孝感)已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是2__cm或14__cm． 方法指导
1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．
重难点2 圆周角定理及其推论
已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4. (1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长； (2)如图2，若∠A＝45°： ①求BC的长；
︵
②若点C是AB的中点，求AB的长； (3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．
图1 图2 图3
【思路点拨】 连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解． 【自主解答】 解：(1)连接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形． ∴BC＝OB＝4.
(2)①连接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝4，∴BC＝42.
︵
②∵点C是AB的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.
2
︵
(3)在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO. ∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.
∵OB＝OC＝4，∴BC＝42.
【变式训练3】 (2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)
A．58° B．60° C．64° D．68°
【变式训练4】 (2018·秦皇岛海港区一模)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为(C)
A．15° B．28° C．29° D．34°
方法指导
1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．
2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决． 3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．
模型建立在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边． 易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．
重难点3 圆内接四边形
(2017·潍坊)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，
连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(C)
A．50° B．60° C．80° D．90°
︵︵
【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得CD＝2DM，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．
【变式训练5】 (2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)
3
A．80° B．120° C．100° D．90°
【变式训练6】 (2018·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝n°
方法指导
1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．
2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ
︵︵
1．如图，在⊙O中，如果AB＝2AC，那么(C)
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC
2．(2018·邯郸模拟)如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为(D)
A．2 B．23 C．4 D．43
3．(2017·承德模拟)如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为(C)
A．7 B．6 C．5 D．4
4
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