(整理)微积分复习习题.

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《微积分II》练习题

一、 填空题

1．函数z?1ln?x?y?的定义域是_______________ 。

2．函数f(x,y)?x?y?1，则定义域为 。 x?y

x3．。 f(x?y,)?x2?y2,则f(x,y)? y

4.设f(x,y)?xy?(y?1)arcsin5.设z?e2xlnyx，则fx(x,1)? _______ 。 yx2?y2，则dz(1,1)? 。

6．函数z?x在（2，1）点处的全微分为_______________。 7.

2222y?x与y?1所围成） 。（其中D：由曲线。 xyf(x?y)dxdy???D8. 改变积分次序

?dx?01xx2f(x,y)dy= _________ 。

9.微分方程y'?ycosx?e?sinx的通解是 。

10.微分方程

y??y?0满足初始条件yx?0?1的特解 。

二、选择题

1．极限

(x,y)?(0,0)lim2xy?(22x?y).

（A）0; （B）1; （C）2; （D）不存在。 2．二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处各偏导数存在是全微分存在的（ ） A、充分条件 B、必要条件 C、无关条件 D、充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b）处的偏导数存在，则lim(A) 0 (B) fx?(2a,b) 精品文档

x?0f(a?x,b)?f(a?x,b)?（ ）

x精品文档

(C) fx?(a,b) (D) 2fx?(a,b) 4．若z?f(x , y)在点P（x，y）处

?z?z，都存在，则下列结论正确的是（ ）。 ?x?y（A）z?f(x,y)在P点可微； （B）z?f(x,y)在P点连续；

?2z?2z?z?z?（C）若，在P点连续，则； （D）以上结论都不正确 ?x?y?y?x?x?yay5．交换dyf(x,y)dx（a为常数）的次序后得（ ）

00ya??aaA、dxf(x,y)dy B、dxf(x,y)dy

00??ax??0x0ayaC、dxf(x,y)dy D、dxf(x,y)dy

000?? 1 0??6．二次积分（A）（C）

?dx? 2?x 0 2x?x2 0f(x,y)dy??dx? 1 2 2?x 0f(x,y)dy可交换积分次序的为（ ）

1 2?y 0 1?1?y2 2x?x2? 2 0dy?f(x,y)dx； （B）?dy? 2 0f(x,y)dx； f(x,y)dx

? 1 0dy? 2-y 1?1?y2f(x,y)dx； （D）?dy? 07. D是由x??1，x?1，y??1，y?1所围成的区域，则??2d?=( )

D(A) 1； (B) 2 ； (C) 4 ； (D) 8

d2ydy?y?0的（ ） 8．函数y=(c+x)e是方程的2?2dxdxxA. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解

三、解答题

sin(x2y).. 1．求极限 lim2x?0x?y2y?0?u?2u;2．求函数u?xln(x?2y)的偏导数；。 ?x?y?x3．z?z(x,y)由e?xy?2z?ez?0确定，求dz。

?2z33,求dz及.4.设z?z(x,y)是由方程z?3xyz?a所确定的二元函数 ?x?y精品文档

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5 . 求函数z?f(xy,y)的一阶及二阶偏导数(其中f具有一、二阶连续偏导数). x6. 计算I???Dsinxdxdy，其中D是由y?x与x?1,x轴所围成。 x7. 计算

xyxe??dxdy ，其中 D?{(x,y)0?x?1,?1?y?0} D?(xe??D28．计算

?y2)dxdy ，其中 D:x2?y2?9.

9．求微分方程

xdxy?dy?0在初始条件y|x?0?1的特解。 1?y1?x10．求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

xlnxdy?(y?lnx)dx?0, yx?e?1.

11． 求微分方程x2dy?(y2?xy?x2)dx的通解.

dy412． 求微分方程?y?x2y的通解.dxx四、应用题

1、求函数f?x,y??x?y?3xy的极值。

332、某厂家生产的一种产品在两个市场销售，售价分别为p1,p2，销售量分别为q1,q2，它们与价格的关系为q1?24?0.2p1，q2?10?0.05p2，总成本函数为

C?35?40(q1?q2)，试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使获得的总利润最大？

最大利润为多少？

3. 某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的

尺寸时, 才能使用料最省.

《微积分II》练习题答案

填空题

y?12f(x,y)?x.1.x?y?1 2.{(x,y)y?x,x?0,x?y?0} 3.

y?14． 1 ; 5 .dz(1,1)?(?ln2)edx?精品文档

12212edy 6．dz=dx+2ln2dy 2精品文档

7. 0 8.

?10dy?yyf(x,y)dx ; 9.y?(x?c)e?sinx 10. y?e?x

选择题

1. D 2.B 3. D 4.D 5.B 6.B 7.D 8.C

三、解答题

xyxysin(x2y)1?1．0??x?x ---------(4分) 22x2?y2x2?y22x?y且limx?0. ---------(5分)

x?02x?y所以 lim22?0. ---------(6分)

x??x?yy??2、解：

?ux?ln(x?2y)?--------------(2’) ?xx?2y?u?2x? -----------------------------------(4’) ?yx?2y?2u?2(x?2y)?2x4y -------(6’) ???y?x(x?2y)2(x?2y)23、两边求全微分e ?e?xy?xyd(?xy)?2dz?ezdz?0 -------------- (3’)

(ydx?xdy)?2dz?ezdz?0----------------------(4’)

e?xy(ydx?xdy) dz? 层 -----------------------------------(6’)

ez?2

4.由d(z3?3xyz)?d(a3),3z2dz?3yzdx?3xzdy?3xydz?0,dz??zxz?zyz?2.?2,?xz?xy?yz?xyxzxz?z2?z2(z?y)(z?xy)?yz(2z??x)(z?y)(z?xy)?yz(2z??x)222z?xyz?xy?z?y?y??(z2?xy)2?x?y(z2?xy)2z(z4?2xyz2?x2y2)?.23(z?xy)yzxzdx?dy,z2?xyz2?xyy, 则z?f(u,v) -------------- (1分) x?z?z?u?z?vy?????yf?fv,u精品文档?x ?u?x?v?xx25. 解 设u?xy,v?