???ak≥0，?22－3k≥0，?－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有即? ?ak＋1≤0，???22－3?k＋1?≤0，
1922
解得≤k≤.∵k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.
33答案：(1)35 (2)B
三．等比数列及其前n项和
[知识能否忆起]
1．等比数列的有关概念 (1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式an＋1为＝q(n∈N*，q为非零常数)． an
(2)等比中项：
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1. na1，q＝1，??
(2)前n项和公式：Sn＝?a1?1－qn?a1－anq
＝，q≠1.?1－q?1－q
3．等比数列{an}的常用性质
(1)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2r. 特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列，公比为qk；
数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时q≠－1)； an＝amqn
－m
－
.
1.等比数列的特征
(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数． (2)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 2．等比数列的前n项和Sn
(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．
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(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误
考点
等比数列的判定与证明
典题导入
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n. (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
[自主解答] (1)证明：∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， an＋1－11∴＝.
2an－1
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1， 11
∴a1＝，c1＝－.
22
11
又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．
221?1?n－1
?1?n， －?·(2)由(1)可知cn＝?＝－?2??2??2?1?n
∴an＝cn＋1＝1－??2?.
在本例条件下，若数列{bn}满足b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，证明{bn}是等比数列． 1?n证明：∵由(2)知an＝1－??2?， ∴当n≥2时，bn＝an－an－1 1?n??1?n－1?＝1－??2?－?1－?2?? 1?n－1?1?n?1?n＝??2?－?2?＝?2?.
1?n1
又b1＝a1＝也符合上式，∴bn＝??2?. 2
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bn＋11∵＝，∴数列{bn}是等比数列． bn2
由题悟法
等比数列的判定方法
an＋1an
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，
anan－1
则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
以题试法
1． (2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝logax，且所有项为正数的无穷数列{an}满足logaan＋
1－logaan＝2，则数列{an}(
)
A．一定是等比数列 B．一定是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
an＋1an＋12
解析：选A 由logaan＋1－logaan＝2，得loga＝2＝logaa2，故＝a.又a>0且a≠1，
anan
所以数列{an}为等比数列．
等比数列的基本运算
典题导入
[例2] {an}为等比数列，求下列各值： (1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；
(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q. 解：(1)设数列{an}的公比为q，
??a6－a4＝a1q
由题意得?3
?a3a5＝a1q?
3
q－1＝24， ①
2
2
＝64. ②
由②得a1q＝±8，
将a1q＝－8代入①中，得q＝－2(舍去)． 将a1q＝8代入①中，得q＝4，q＝±2. 当q＝2时，a1＝1，∴an＝a1q
n－1
3
2
3
2
3
＝2
n－1
.
n－1
当q＝－2时，a1＝－1，∴an＝a1q
n－1
＝－(－2)11 / 24
.
∴an＝2
n－1
或an＝－(－2)
n－1
.
(2)∵a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
??a3＝3，∴???a7＝12
??a3＝12，
或???a7＝3.
a714
∴q＝＝4或.
a34∴q＝±2或q＝±
由题悟法
1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
2．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式．
以题试法
2．(2012·山西适应性训练)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{3an}的前n项和．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)． 因为a2，a4，a8成等比数列， 所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)， 解得d＝2.
所以an＝2n(n∈N*)．
(2)由(1)知3an＝32n，设数列{3an}的前n项和为Sn， 则Sn
＝32＋34＋…＋32n＝
9?1－9n?9
＝(9n－1)． 81－92
. 2
等比数列的性质
典题导入
[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1
＋log3a2＋…＋log3a7)的值为( )
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