第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试(人教A版必修2)

所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.

因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角， 在Rt△DPA中，AD＝5，DP＝1， 5

sin∠DAP＝5，

5

因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5. 21．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．

求证：(1)直线EF∥面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD. 证明 (1)在△ABD中，

∵E，F分别是AB，BD的中点， ∴EF∥AD.

又AD?平面ACD，EF?平面ACD， ∴直线EF∥平面ACD.

(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD， ∴EF⊥BD.

在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点， ∴CF⊥BD.

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∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC， 又∵BD?平面BCD， ∴平面EFC⊥平面BCD.

22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．

(1)求正视图的面积；

(2)求四棱锥P－ABCD的体积； (3)求证：AC⊥平面PAB.

解 (1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.

又∵△PBC为正三角形， ∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC，

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∴PE2＝PC2－CE2＝3.

∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE. ∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝2. 1

正视图的面积为S＝2×2×2＝2.

(2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝2，底面积为S＝AD＋BC1＋23

·CD＝2×1＝2， 2

1132∴四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝3S·PA＝3×2×2＝2. (3)证明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC. ∵在直角三角形ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝2， 在直角三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝2， ∴BC2＝AA2＋AC2＝4，∴△BAC是直角三角形． ∴AC⊥AB.

又∵AB∩PA＝A，∴AC⊥平面PAB.

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