向量的概念
一、高考要求：
理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律. 二、知识要点：
1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为始点,B为终点的有向线段记作AB,注意:始点一定要写在前面,已知AB,线段AB的长度叫做有向线段AB的长(或模),AB的长度记作|AB|.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.
2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB表示向量时,我们就说向量AB.另外,在印刷时常用黑体小写字母a、b、c、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a、b、c、…等.与向量有关的概念有:
(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a和b同向且等长,即a和b相等,记作a=b.
(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.
(3) 位置向量:任给一定点O和向量a,过点O作有向线段OA?a,则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定,这时向量a又常叫做点A相对于点O的位置向量.
(4) 相反向量:与向量a等长且方向相反的向量叫做向量a的相反向量,记作?a.显然,
a?(?a)?0.
(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e.与向量a同方向的单位向量通常记
a作a0,容易看出:a0?.
│ │a (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a平行于向量b,记
b.零向量与任一个向量共线(平行). 作a∥
三、典型例题：
例:在四边形ABCD中,如果AB?DC且│ AB│ ?│ BC│ ,那么四边形ABCD是哪种四边形? 四、归纳小结：
1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.
2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A相对于点B的位置向量是BA. 正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 设O是正△ABC的中心,则向量AO,OB,OC是( )
A.有相同起点的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量 3. a?b的充要条件是( )
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A.│ │a ?│ │b B.│ │a ?│ │b 且a∥b []l C.a∥b D.│ │a ?│ │b 且a与b同向 4. AA??BB?是四边形ABB?A?是平行四边形的( )
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD是菱形的是( )
A.AD?BC B.AD∥BC且AB∥CD
│ AB│ ?│ AD│ D.AB?DC且AD?BC C.AB?DC且
6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )
A.零向量没有方向 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向任意
7. 设与已知向量a等长且方向相反的向量为b,则它们的和向量a?b等于( ) A.0 B.0 C.2a D.2b （二）填空题：
8. 下列说法中: (1)AB与BA的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有 . 9. 下列命题中: (1)单位向量都相等 (2)单位向量都共线 (3)共线的单位向量必相等 (4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有 个.
∣∣a=0,则a=0. (2)若∣∣=a∣∣b,则a?b或a??b.(3)若a与b是平行向量,10. 下列命题中: (1)若则∣∣=a∣∣b. (4)若a?0,则?a?0.其中正确的命题是 (只填序号).
（三）解答题： 11. 如图,四边形ABCD于ABDE都是平行四边形.
(1) 若AE?a,求DB; (2) 若CE?b,求AB;
(3) 写出和AB相等的所有向量; (4) 写出和AB共线的所有向量.
向量的加法与减法运算
一、高考要求：
掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律. 二、知识要点：
1. 已知向量a、b,在平面上任取一点A,作AB?a,BC?b,作向量AC,则向量AC叫做向量a与b的和(或和向量),记作a+b,即a?b?AB?BC?AC.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
2. 已知向量a、b,在平面上任取一点A,作AB?a,AD?b,如果A、B、D不共线,则以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC=a+b=AB+AD.这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四边形法则.
3. 已知向量a、b,在平面上任取一点O,作OA?a,OB?b,则b+BA=a,向量BA叫做向量a与b的差,并记作a-b,即BA=a?b?OA?OB.由此推知:
(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量;
- 2 -
(2) 一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB;
(3) 一个向量减去另一个向量,等于加上这个向量的相反向量.
4. 向量加法满足如下运算律: (1)a?b?b?a; (2)(a?b)?c?a?(b?c). 三、典型例题：
例1:已知任意两个向量a、b,不等式│ a?b│ ≤│ │a ?│ │b 是否正确?为什么? 例2:作图验证:?(a?b)??a?b. 四、归纳小结：
1. 向量的加法有三角形法则(AB?BC?AC)或平行四边形法则(AB+AD=AC),向量的减法法则(AB?OB?OA).
2. 向量的加减法完全不同于数量的加减法.向量加法的三角形法则的特点是,各个加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量减法的三角形法则的特点是,减向量和被减向量同起点,差向量是由减向量指向被减向量.
3. 任一向量等于它的终点向量减去它的起点向量(相对于一个基点). 五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 化简AB?AC?BD?DC的结果为( )
A.AC B.AD C.0 D.0 2. 在△ABC中,BC?a,CA?b,则AB等于( ) A.a?b B.?(a?b) C.a?b D.b?a 3. 下列四式中不能化简为AD的是( )
A.(AB?CD)?BC B.(AD?MB)?(BC?CM)
C.MB?AD?BM D.OC?OA?CD 4. 如图,平行四边形ABCD中,下列等式错误的是( )
A.AD?AB?BD B.AD?AC?CD C.AD?AB?BC?CD D.AD?DC?CA 5. 下列命题中，错误的是( ) A.对任意两个向量a、b,都有?ABC中,AB?BC?CA?0 ?a?????b?? B.在△?a?b??≤?C.已知向量AB,对平面上任意一点O,都有AB?OB?OA
D.若三个非零向量a、b、c满足条件a?b?c?0,则表示它们的有向线段一定能构成三角形 6．下列等式中，正确的个数是( ) ①a?0?a;②b?a?a?b;③?(?a)?a;④a?(?a)?0;⑤a?(?b)?a?b.
A.2 B.3 C.4 D.5 （二）填空题： 6. 在△ABC中,AB?CA= ,BC?AC= .
7. 化简:AB?AC?BD?CD= ,A0A1?A1A2?A2A3?A3A0= . （三）解答题：
8. 若某人从点A向东位移60m到达点B,又从点B向东偏北30方向位移50m到达点C,再从点C向北偏西60方向位移30m到达点D,试作出点A到点D的位移图示.
数乘向量
一、高考要求：
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掌握数乘向量的运算及其运算律. 二、知识要点：
1. 数乘向量的一般定义:实数?和向量a的乘积是一个向量,记作?a.
当??0时,?a与a同方向│,?a│ =│ ∣?│ │a ; 当??0时,?a与a反方向│,?a│ =│ ∣?│ │a ; 当??0或a?0时,0?a???0?0.
2. 数乘向量满足以下运算律: (1)1a=a,(-1)a=?a; (2)?(?a)?(??)a;
(3)(???)a??a??a; (4)?(a?b)??a??b. 三、典型例题：
11111例1:化简: (a?2b)?(5a?2b)?b 例2:求向量x:2(x?a)?(b?3x?c)?c
46342四、归纳小结：
向量的加法、减法与倍积的综合运算,通常叫做向量的线性运算. 五、基础知识训练： （一）选择题：
1. 下列关于数乘向量的运算律错误的一个是( )
A.?(?a)?(??)a B.(???)a??a??a C.?(a?b)??a??b D.?(a?b)??a?b
2. D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB上的中点,且BC?a,CA?b,给出下列命题,其中正确命题的个
1111AD??a?b; ②BE?a?b; ③CF??a?b; ④数是( ) ①AD?BE?CF?0.
2222 A.1 B.2 C.3 D.4 3. 已知AM是△ABC的BC边上的中线,若AB?a,AC?b,则AM等于( )
1111 A.(a?b) B.(b?a) C.(a?b) D.?(a?b)
222214. 设四边形ABCD中,有DC?AB,且,则这个四边形是( ) ∣AD∣?∣BC∣2 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 （二）填空题：
5. 化简:2(3a?4b?c)?3(2a?b?3c)= . 6. 若向量x满足等式: x?2(a?x)?0,则x= .
7. 数乘向量?a的几何意义是 . （三）解答题：
18. 已知向量(也称矢量)a,b,求作向量x?2a?b.
2a
9. 已知a、b不平行,求实数x、y使向量等式3xa?(10?y)b?(4y?7)a?2xa恒成立.
110. 任意四边形ABCD中,E是AD的中点,F是BC的中点,求证:EF?(AB?DC).
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平行向量和轴上向量的坐标运算
一、高考要求：
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