立体几何中的存在性问题

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高中数学 立体几何 存在性问题专题 1.（天津理17） 如图，在三棱柱

ABC?A1B1C1中，

H是正方形AA1B1B的中心，AA1?22，C1H?平面AA1B1B，且C1H?5.

（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角

A?AC11?B1B1C1的正弦值；

（Ⅲ）设N为棱

的中点，点M在平面

AA1B1BABC，且MN?平面11，求线段BM的

长．

本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. 依题意得A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,?2,5)

A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)

uuuruuuurAC?(?2,?2,5),A1B1?(?22,0,0)，

（I）解：易得

uuuruuuuruuuruuuuurAC?A1B142ruuuur?cosAC,A1B1?uuu?,3|AC|?|A1B1|3?22 于是

2.3 所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为

uuuruuuurAA?(0,22,0),AC11?(?2,?2,5). （II）解：易知1 设平面AA1C1的法向量m?(x,y,z)，

uuuur??m?A1C1?0???2x?2y?5z?0,?uuur??m?AA1?0即??22y?0. 则?

不妨令x?.

5,可得m?(5,0,2)，

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同样地，设平面A1B1C1的法向量n?(x,y,z)，

uuuur??n?A1C1?0,???2x?2y?5z?0,uuuur??n?AB?0.??22x?0.?11 则?即?不妨令y?5，

可得n?(0,5,2).

cosm,n?于是

m?n22??,|m|?|n|7?77 35.7

sinm,n?从而

35.所以二面角A—A1C1—B的正弦值为7

（III）解：由N为棱B1C1的中点，

N(得

2325,,).222设M（a，b，0），

uuuur2325MN?(?a,?b,)222则

uuuuruuuur?MN?A1B1?0,?ruuuur?uuuu?MN?AC11?0.由MN?平面A1B1C1，得?

??(???(?即?2?a)?(?22)?0,22325?a)?(?2)?(?b)?(?2)??5?0.222

2,2222.M(,,0).4故24

??a????b??解得?uuuuruuuur2210BM?(,,0)|BM|?.244因此，所以线段BM的长为

方法二：

（I）解：由于AC//A1C1，故因为

?C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角.

C1H?平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，

AA1?22,C1H?5,

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可得

AC11?B1C1?3.

222AC211?A1B1?B1C1cos?C1A1B1??.2AC3 11?A1B1因此

2.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为3

（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1， 又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1， 所以

?AC1A1≌

?B1C1A，过点A作

，故

AR?A1C1于点R，

连接B1R，于是

B1R?AC11?ARB1为二面角A—A1C1—B1的平面角.

在

Rt?A1RB1中，

B1R?A1B1?sin?RA1B1?22?1?(中，

22214)?.33

连接AB1，在

?ARB1AR2?B1R2?AB122AB1?4,AR?B1R,cos?ARB1???2AR?B1R7，

sin?ARB1?35.7

从而

35.所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为7

MN?A1B1.（III）解：因为MN?平面A1B1C1，所以

取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，

ND?所以ND//C1H且又

15C1H?22.

C1H?平面AA1B1B，

所以ND?平面AA1B1B，故又MNIND?N, 所以则

ND?A1B1.

A1B1?平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，

ME?A1B1,故ME//AA1..

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DEB1EB1D1???,AABABA4 1111由

DE?B1E?22，延长EM交AB于点F， 2.2连接NE.

得

可得

BF?B1E?在Rt?ENM中，

ND?ME,故ND2?DE?DM. ND252DM??.DE4 所以

FM?可得

2.4

连接BM，在Rt?BFM中，

BM?FM2?BF2?2.（理20）

10.4

如图，在三棱锥P?ABC中，AB?AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。 方法一：

（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系O—xyz

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