立体几何中的存在性问题

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则O(0,0,0),A(0,?3,0),B(4,2,0),C(?4,2,0),P(0,0,4)，

uAPuur?(0,3,4),uBCuur?(?8,0,0)uuuruuur，由此可得AP?BC?0，所以

uAPuur?uBCuur，即AP?BC.

uuuur?uPAuur,??1,则uPMuuur（II）解：设PM???(0,?3,?4)

uBMuuur?uBPuur?uPMuuur?uBPuur??uPAuur

?(?4,?2,4)??(0,?3,?4)?(?4,?2?3?,4?4?) uACuur?(?4,5,0),uBCuur?(?8,0,0)

u设平面BMC的法向量nr1?(x1,y1,z1)，

u平面nur?(x2,y2,z2)?uAPCuuur的法向量2ur

??BM由?u?BCuur??unnr1?0,1?0, ???4x1?(2?3?)y1?(4?4?)x1?0,得??8x1?0,

??x1?0,ur?z2?3?可取n1?(0,1,2?3?)1?y1,4?4?即??4?4??uuuruur

??AP?n2?0,?3y2?4z由?u?ACuur?unur?2?0,2?0.即??4x2?5y2?0, ???x2?5y,uur?42可取n2?(5,4,?3).?z2??3y2,得??4 unruur4?3?2?3?由1?n2?0,得4?4??0,

??

2

解得

5，故AM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。 方法二：

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（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得AD?BC 又PO?平面ABC，得PO?BC.

因为POIAD?O，所以BC?平面PAD， 故BC?PA.

（II）解：如图，在平面PAB作BM?PA于M，连CM， 由（I）中知AP?BC，得AP?平面BMC， 又AP?平面APC，所以平面BMC?平面APC。

222Rt?ADB中,AB?AD?BD?41,得AB?41. 在

222Rt?POD中,PD?PO?OD在， 222Rt?PDB中,PB?PD?BD, 在

2222PB?PO?OD?DB?36,得PB=6. 所以

222Rt?POA中,PA?AO?OP?25,得PA?5. 在

PA2?PB2?AB21cos?BPA??,2PA?PB3 又

从而PM?PBcos?BPA?2，所以AM=PA-PM=3。 综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

3.（理19）

如题（19）图，在四面体ABCD中，平面ABC?平面ACD，AB?BC，AD?CD，?CAD????． （Ⅰ）若AD??，AB??BC，求四面体ABCD的体积；

（Ⅱ）若二面角C?AB?D为???，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

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（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC. 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC， 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高， 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=3. 在Rt△ABC中，因AC=2AF=23，AB=2BC，

BC?由勾股定理易知故四面体ABCD的体积

215415,AB?.55

V?1114152154?S?ABC?DF?????.332555

（II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.

设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC， 故由三垂线定理知DE⊥AB.

所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°

AD?a,则DF?AD?sinCAD?设

a.2

a33??a,236

Rt?DEF中,EF?DF?cotDEF?在

GH?从而

13BC?EF?a.26

FH?因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，

1aBD?22，

FG?又

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1aAD?,22从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得

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FG2?GH2?FH2GH3cosFGH???2FG?GH2FG6 3.6因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，

平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.

不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为

A(0,?3,0),C(0,3,0),D(0,0,1),uuur则AD?(0,3,1).

显然向量k?(0,0,1)是平面ABC的法向量. 已知二面角C—AB—D为60°，

故可取平面ABD的单位法向量n?(l,m,n)，

1?n,k??60o,从而n?.2 使得

uuur3由n?AD,有3m?n?0,从而m??.6由l2?m2?n2?1,得l??6.3

uuuruuuruuurB(x,y,0);由AB?BC,n?AB,取l?设点B的坐标为

63，有

?46?x2?y2?3,x?,x?0,????9?解之得,?(舍去)?6?3x?(y?3)?0,?y??3??y?73,?36??9?

l??易知

63与坐标系的建立方式不合，舍去.

uuur46234673CB?(,?,0).B(,,0).9999因此点B的坐标为所以

从而

uuuruuuruuuruuurAD?CBruuur?cos?AD,CB??uuu|AD||CB|3(?3?1(23)9??462232)?(?)993.6

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