2019届高三年级第二次模拟考试
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|－1 2 2. 已知i为虚数单位，则复数(1－2i)的虚部为________． 2 3. 抛物线y＝4x的焦点坐标为________． 4. 已知箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为________． 5. 如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为________． 6. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________． ?log2（3－x），x≤0，?1 7. 已知函数f(x)＝?x若f(a－1)＝，则实数a＝________． 2??2－1， x>0， 8. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题“今有马行转迟，次日减半疾，七日行 七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，则这匹马在最后一天行走的里程数为________． 9. 已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________． ?π?10. 设定义在区间?0，?上的函数y＝33sin x的图象与y＝3cos 2x＋2的图象交于点 2?? P，则点P到x轴的距离为________． ?π?11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sin?A－?4?? ＝________． 22 12. 若在直线l：ax＋y－4a＝0上存在相距为2的两个动点A，B，在圆O：x＋y＝1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形(C为直角顶点)，则实数a的取值范围是________． 13. 在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E→→ 的直线交AB于点P，交AC于点Q，则BQ·CP的最大值为________． 1 14. 已知函数f(x)＝x＋|x－a|，g(x)＝(2a－1)x＋aln x，若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分) 如图，在三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求2 证： (1) EF∥平面ABC； (2) BD⊥平面ACE. 16. (本小题满分14分) 已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos α－sin α，cos α＋sin α)． (1) 求向量a与b的夹角； (2) 若(λb－a)⊥a，求实数λ的值． 2 17. (本小题满分14分) 某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴(如图)．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中点A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路的AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米． (1) 求出n关于m的函数关系式； (2) 当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值． 3 18. (本小题满分16分) xy33 已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为. ab23 (1) 求椭圆E的标准方程； (2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭PA·PB 圆E于点A，B和点C，D，且直线l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值． 2 2 PC·PD 4
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