【知识梳理】
1．正切函数的性质
函数 定义域 函数 值域 周期 奇偶性 单调性 2．正切函数的图像 (1)正切函数的图像：
y＝tan x π????xx≠kπ＋，k∈Z? 2???y＝tan x (－∞，＋∞) T＝π 奇函数 ππkπ－，kπ＋?(k∈Z)上都是增函数 在每个开区间?22??
(2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征：
π
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．
2【常考题型】
题型一、正切函数的定义域、值域问题
【例1】 求下列函数的定义域和值域： π
x＋?；(2)y＝(1)y＝tan??4?3－tan x.
ππ
[解] (1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得，
42π
x≠kπ＋，k∈Z，
4
ππ
x＋?的定义域为xx≠kπ＋，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)． 所以函数y＝tan??4?4(2)由3－tan x≥0得，tan x≤3.
ππ
－，?上， 结合y＝tan x的图像可知，在??22?
1
ππ
满足tan x≤3的角x应满足－ 23所以函数y＝ 3－tan x的定义域为 ππ??? ?xkπ－ 23???【类题通法】 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数yπ ＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形 2如tan x>a的不等式的步骤： 【对点训练】 1 求函数y＝的定义域． 1＋tan x 解：要使函数有意义，则有1＋tan x≠0， ππ ∴tan x≠－1，∴x≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z. 421 因此，函数y＝的定义域为 1＋tan xππ??? ?xx≠kπ－且x≠kπ＋，k∈Z?. 42??? 题型二、正切函数的单调性及应用 1π? 【例2】 (1)求函数y＝tan??2x－4?的单调区间； 13π12π －?与tan?－?的大小． (2)比较tan??4??5?π1ππ [解] (1)由kπ－ 2242π3π 2kπ－ 22 1π?π3π x－的单调递增区间是?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)． 所以函数y＝tan?22??24?? 2 13π3π12π2π3ππ2π－?＝tan?－4π＋?＝tan＝－tan，tan?－?＝－tan?2π＋?＝－tan， (2)由于tan?4?5??4???5??445π2ππ 又0<<<， 452 π 0，?上单调递增， 而y＝tan x在??2?π2ππ2π 所以tan 454513π12π－?>tan?－?. 即tan??4??5?【类题通法】 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπππ －<ωx＋φ (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【对点训练】 1．比较tan 1，tan 2，tan 3的大小． 解：因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． ππ 又因为<2<π，所以－<2－π<0. 22ππ 因为<3<π，所以－<3－π<0. 22ππ显然－<2－π<3－π<1<， 22ππ －，?内是增函数， 又y＝tan x在??22?所以tan(2－π) π?2．求函数y＝3tan??4－2x?的单调区间． 3 ππ－2x?＝－3tan?2x－?， 解：y＝3tan?4??4??πππ 由－＋kπ<2x－<＋kπ得， 242πk3πk －＋π π －2x?的单调递减区间为 所以y＝3tan??4? ?－π＋kπ，3π＋kπ?(k∈Z)． 82??82 题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 π 2x＋?的周期； 【例3】 (1)求f(x)＝tan?3??(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． ππ 2x＋＋π?＝tan?2x＋?， [解] (1)∵tan?33????πππx＋?＋?＝tan?2x＋?， 即tan?2?3????2?3?ππ2x＋?的周期是. ∴f(x)＝tan?3??2 ??π x≠kπ＋，k∈Z?，关于原点对称， (2)定义域为?x?2? ? ? ∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， ∴它是奇函数． 【类题通法】 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ π ，常常利用此公式来求周期． |ω| (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 【对点训练】 关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法： π?①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f(x)的图像关于??2－φ，0?对称；③f(x)的图像关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数． 其中不正确的说法的序号是________． 解析：①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tan x，此时，f(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝ 4
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