常微分方程期末考试试题A卷

多练出技巧 巧思出硕果

??2?2? 由???4?4??v1?0???1? 取v1????1?????1?可得v1?????1????

??0

?1?同理取v2???2???? 所以，?(t)= ev1??t?e?tev2????e?t?5t?e5t?? 5t?2e??1?e?te5t??11?At?1???e??(t)?(0)?????e?t2e5t???12????e5t??2?1?1?e?t??? ?? ??t5t??113?2e?????e1?e5t?2e?t??5t?t3?2e?2e?e5t?e?t??5t?t?2e?e?

6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件

ab?ac?0，故奇点为原点（0，0） 0ca??b??2?(a?c)??ac?0得

0c?? 又由det(A-?E)= ?1?a?2?c

所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

???a?0,c?0,稳定结点ac?0奇点为结点??a?c???a?0,c?0,不稳定结点???ac?0奇点为鞍点（不稳定）a，c为实数? ???b?0,奇点为退化结点?a?0,c?0，稳定结点?a?c??b?0,奇点为奇结点??a?0,c?0,不稳定结点??

三、证明题。 （10分）

证明： 设?(t)的形式为?(t)=eAtC （1） （C为待定的常向量）

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则由初始条件得???(t0)=eAt0C

又(eAt0)?1=e?At0

所以，C=(eAt0)?1?=e?At0?

代入（1）得?(t)=eAte?At0??eA(t?t0)?

即命题得证。

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