2020年高考理科数学一轮复习大题篇 - 概率统计

2020年高考理科数学一轮复习大题篇---概率统计

【归类解析】

题型一 离散型随机变量的期望与方差

【解题指导】 离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．

【例】某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.

付款方式 频数

(1)求上表中的a，b值；

(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；

(3)求η的分布列及期望E(η)． a

【解】 (1)由＝0.2，得a＝20.

100又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.

(2)记分期付款的期数为ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15. 依题意，得

4020

P(ξ＝3)＝＝0.4，P(ξ＝6)＝＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2，

1001001010

P(ξ＝12)＝＝0.1，P(ξ＝15)＝＝0.1.

100100

则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为P(A)＝0.83＋C10.2×(13×－0.2)2＝0.896.

(3)由题意，可知ξ只能取3,6,9,12,15.

而ξ＝3时，η＝1；ξ＝6时，η＝1.5；ξ＝9时，η＝1.5；ξ＝12时，η＝2；ξ＝15时，η＝2. 所以η的可能取值为1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2. 故η的分布列为

1

分3期 40 分6期 20 分9期 a 分12期 10 分15期 b η P 1 0.4 1.5 0.4 2 0.2 所以η的期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4. 【训练】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及期望．

【解】 因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布．

i

Ci3C35

X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0，1,2,3)，

C38

－

32

C05C13C53C515

则P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，

C828C82810C2C313C5153C5

P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝. C856C856

所以X的分布列为

X P 0 5 281 15 282 15 563 1 56515151639所以X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 28285656568题型二 概率与统计的综合应用

【解题指导】 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【例】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

2

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

【解】 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04； 所以X的分布列为

X P

(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040(元)．

当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080(元)． 可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 【训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04

(1)将T表示为X的函数；

(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝

3

105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的期望． 【解】 (1)当X∈[100,130)时， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

??800X－39 000，100≤X<130，所以T＝?

?65 000，130≤X≤150.?

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为

T P 45 000 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 题型三 概率与统计案例的综合应用

【解题指导】 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．

【例】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：

每周移动支付次数 男 女 总计

(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？

(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．

①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；

②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及期望． n

附公式及表如下：χ＝

2

1次 10 5 15 2次 8 4 12 3次 7 6 13 4次 3 4 7 5次 2 6 8 6次及以上 15 30 45 总计 45 55 100 n11n22－n12n21n1＋n2＋n＋1n＋2

0.10 2

. 0.05 4

P(χ2≥k0) 0.15 0.025 0.010 0.005 0.001