配套创新设计·高考总复习限时训练 北师大理 含答案 第三篇 第3讲 导数的综合应用

第3讲 导数的综合应用

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时 ( )．

A．f′(x)＞0，g′(x)＞0 C．f′(x)＜0，g′(x)＞0

B．f′(x)＞0，g′(x)＜0 D．f′(x)＜0，g′(x)＜0

解析 由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数．当x＞0时，f(x)，g(x)都单调递增，则当x＜0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，即f′(x)＞0，g′(x)＜0. 答案 B

2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 ( )． A．12 cm3

B．72 cm3

C．144 cm3

D．160 cm3

解析 设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x∈(0，5)． 则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160 x， 20

∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或3(舍去)， ∴ymax＝6×12×2＝144 (cm3)． 答案 C

3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是 ( )．

A．(－∞，7] C．(－∞，0]

B．(－∞，－20] D．[－12，7]

解析 令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B. 答案 B

4．(2012·新余模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为 ( )． A．{x|x>0}

B．{x|x<0}

D．{x|x<－1或0

C．{x|x<－1或x>1}

解析 构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0. 答案 A

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．

解析 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点． 答案 (－2，2)

6．(2013·泰州调研)若函数f(x)＝x＋asin x在R上递增，则实数a的取值范围为________．

解析 ∵f′(x)＝1＋acos x，∴要使函数f(x)＝x＋asin x在R上递增，则1＋acos x≥0对任意实数x都成立．

∵－1≤cos x≤1，

①当a>0时，－a≤acos x≤a，∴－a≥－1，∴0

③当a<0时，a≤acos x≤－a， ∴a≥－1，∴－1≤a<0. 综上，－1≤a≤1. 答案 [－1，1] 三、解答题(共25分)

7．(12分)某分公司经销某品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．

(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．

解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9，11]．

(2)L′(x)＝(12－x)(18＋2a－3x)．

2

令L′＝0，得x＝6＋3a或12(不合题意，舍去)． 228

∵3≤a≤5，∴8≤6＋3a≤3. 2

在x＝6＋3a两侧L′的值由正变负． 29

∴①当8≤6＋3a<9，即3≤a<2时， Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)． 2289

②当9≤6＋3a≤3，即2≤a≤5时，

2??22??2????

Lmax＝L?6＋3a?＝?6＋3a－3－a??12－?6＋3a??

????????

1?3?

＝4?3－3a?. ??

9

??9（6－a），3≤a<2，

∴Q(a)＝?

319??3－a?4，≤a≤5.???3??2

9

故若3≤a<2，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值2?9?

Q(a)＝9(6－a)(万元)；若2≤a≤5，则当每件售价为?6＋3a?元时，分公司一年

??1?3?

的利润L最大，最大值Q(a)＝4?3－3a?(万元)．

??

a

8．(13分)已知函数f(x)＝ln x－x.

(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性； 3

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为2，求a的值； (3)若f(x)

思维启迪：(1)求导数f′(x)→判断f′(x)>0或f′(x)<0→确定单调性． (2)根据单调性→求f(x)在[1，e]上的最小值→列方程求解． (3)f(x)xln x－x3→求xln x－x3的最大值． 解 (1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1ax＋a

且f′(x)＝x＋x2＝x2. ∵a>0，∴f′(x)>0，

故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． x＋a

(2)由(1)可知，f′(x)＝x2. ①若a≥－1，则x＋a≥0， 即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立， 此时f(x)在[1，e]上为增函数， 3

∴f(x)min＝f(1)＝－a＝2，