高考数学真题专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明

高考真题

33．(2016江苏)记U??1,2,L,100?．对数列?an?（n?N*）和U的子集T，若T??，定义

ST?0；若T??t1,t2,L,tk?，定义ST?at1?at2?L?atk．例如：T??1,3,66?时，

现设?an?（n?N*）是公比为3的等比数列，且当T??2,4?时， ST?a1?a3?a66．ST?30．(1)求数列?an?的通项公式；

(2)对任意正整数k（1≤k≤100），若T??1,2,L,k?，求证：ST?ak?1； (3)设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC?SCID≥2SD． 34．(2016浙江)设函数f(x)=x3?(1)f(x)≥1?x?x； (2)

21，x?[0,1]．证明： 1?x33?f(x)≤． 42135．(2015湖北)已知数列{an}的各项均为正数，bn?n(1?)nan(n?N?)，e为自然对数的

n底数．

1(1)求函数f(x)?1?x?ex的单调区间，并比较(1?)n与e的大小；

n(2)计算

bbbbbLbnb1bb，12，123，由此推测计算12的公式，并给出证明；

a1a2a3a1a2Lana1a2a11n(3)令cn?(a1a2Lan)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn, 证明：Tn?eSn．

*36．(2015江苏)已知集合X?{1,2,3},Yn?{1,2,3,.....,n}(n?N)，设Sn?{(a,b)|a整除

b或b除a,a?X,b?Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．

(1)写出f(6)的值；

(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．

37．(2014天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,L,q-1}，

集合A={xx=x1+x2q+L+xnqn-1,xi?M,i1,2,L,n}.

(1)当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

n-1n-1(2)设s,t?A，s=a1+a2q+L+anq，t=b1+b2q+L+bnq，其中ai，

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bi?M，i?1,2,???,n．证明：若an?bn，则s?t．

38．(2013江苏)设?an?是首项为a，公差为d的等差数列?d?0?，Sn是其前n项和. 记

bn?nSn，n?N*，其中c为实数. 2n?c(1)若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk?k,n?N*?； (2)若?bn?是等差数列，证明：c?0．