2019届高考高三数学一轮复习：等比数列(知识总结与题型演练文理通用)

2019届高考高三数学一轮复习：等比数列（知识总结与题型演练文理通用）

1．等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，且G2＝ 或G＝ . 3．等比数列的通项公式

(1)若{an}是等比数列，则通项an＝ 或an＝ .当n－m为大于1的奇数

时，q用an，am表示为q＝；当n－m为正偶数时，q＝

n－1

．

n

(2)an＝a1q可变形为an＝Aq，其中A＝

；点(n，an)是曲线

上一群孤立的点．

4．等比数列的前n项和公式

?? ，q＝1，

等比数列{an}中，Sn＝? 求和公式的推导方法是： ，为

＝，q≠1. ?

?

解题的方便，有时可将求和公式变形为Sn＝Bqn－B(q≠1)，其中B＝q≠0，q≠1. 5．等比数列的性质

(1)在等比数列中，若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an；

2

若2m＝p＋q，则am＝ap·aq(p，q，m，n∈N*)．

且

?1?

(2)若{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，则数列?a?，{p·an}(p≠0)，{an·bn}，

?n?

?an?

??仍为等比数列且公比分别为 ， ， ?bn?

， .

(3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即an，an＋m，an＋2m，?仍为等比数列，公比为 ．

(4)公比不为－1的等比数列前n项和为Sn(Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，?构成等比数列，且公比为 ．

(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式an＝a1qn1中，an是n的函数，这个函数由正比例

a1函数an＝·u和指数函数u＝qn(n∈N*)复合而成．

q

－

①当a1＞0， 或a1＜0， 时，等比数列{an}是递增数列；

②当a1＞0， 或a1＜0， 时，等比数列{an}是递减数列； ③当 时，它是一个常数列； ④当 时，它是一个摆动数列．

自查自纠

1．比 常数 公比 2．等比中项 ab ±ab 3．(1)a1q

n－1

amq

n－m

n－mann－man ±

amam

a1?xa1(2) y＝??q?q q

a1（1－qn）a1－anq

4．na1

1－q1－q

a1乘公比，错位相减 q－1

1q15．(2) q1 q1q2

q1q2

(3)qm (4)qn (5)①q＞1 0＜q＜1 ②0＜q＜1 q＞1 ③q＝1 ④q＜0

已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝1，则a1＝( ) 12

A. B. C.2 D．2 22

a6?22a26222?解：因为a3·a9＝2a5，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a6＝2a5，所以2＝2，即?a?＝q＝

a55

a212

2.因为公比为正数，故q＝2.又因为a2＝1，所以a1＝＝＝.故选B.

q22 已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝( )

11

A．2 B. C．2或 D．3

22

1

解：由题意得2an＋2anq2＝5anq，化简得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝，由题意知q>1.

2所以q＝2.故选A.

2

设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )

3A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2

C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an

21－ann－1

32?，Sn＝?1－2an?＝3－2an.故选D. 解：an＝?＝3?3??3?21－3

等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.

解：设数列{an}的公比为q.由S3＋3S2＝0，得4a1＋4a2＋a3＝0，则4a1＋4a1q＋a1q2＝0.显然a1≠0，所以4＋4q＋q2＝0，解得q＝－2.故填－2.

(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．

解：由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2＝3S1＋S3，即3S2－3S1＝S3－S2，也即3a2＝a3，得公比q＝3，所以an＝a1qn1＝3n1.故填3n1.

－

－

－

类型一 等比数列的判定与证明

(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

31

(2)若S5＝，求λ.

32解：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝

1

，a≠0. 1－λ1

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得

an＋1λan≠0.所以＝.

anλ－1

λ11?λ?n－1

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝??.

1－λλ－11－λ?λ－1?

?λ?，

(2)由(1)得Sn＝1－???λ－1?λ?531λ?5131??由S5＝得1－λ－1＝，即??＝， 32??32?λ－1?32

n

解得λ＝－1.

【点拨】等比数列的四种常用判定方法 an＋1an若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数anan－1定义法 列 中项公式法 通项公式法 *若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N)，则{an}是等比数列 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比－数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列

2

已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数．是

3

否存在实数λ，使得数列{an}是等比数列？ 解：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有

4

a22＝a1a3，即

?2λ－3?＝λ?4λ－4?，故4

?3??9?9

2

λ2－4λ＋9＝9λ2－4λ，即9＝0，矛盾．所以对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．

类型二 等比数列基本量的计算

(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为________．

2??a1q＝7，

解：根据已知条件得? 2

?a1＋a1q＋a1q＝21，?

1＋q＋q2

所以＝3，整理得2q2－q－1＝0， 2q

11

解得q＝1或q＝－.故填1或－.

22

(2)已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A．(－∞，－1]

B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

解：设等比数列{an}的公比为q，则

111＋q＋?＝1＋q＋， S3＝a1＋a2＋a3＝a2?q??q11

当q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2q·＝3(当且仅当q＝1时取等号)；

qq

1?－1?＝－1(当且仅当q＝－1时取等号)．所－q－?≤1－2（－q）·当q<0时，S3＝1－?q???q?以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D.

(3)设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)． (Ⅰ)求数列{an}的通项公式； 1

(Ⅱ)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}前n项和Tn.

an

1

解：(Ⅰ)当n＝1时，由6a1＋1＝9a1，得a1＝.

3当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1， 两式相减得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，

即6an＝9(an－an－1)，所以an＝3an－1.

11－－

所以数列{an}是以为首项，3为公比的等比数列，其通项公式为an＝×3n1＝3n2.

33n－21?11

(Ⅱ)因为bn＝＝?，b＝＝3， 1

an?3?a1