且 EM=CD=BC=EF，因此，平行四边形EFOM为菱形，从而，EO⊥FM，而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO．而FM∩CD=M， 所以，EO⊥平面CDF．
点评： 本题考查证明先面平行、线面垂直的方法，取CD中点M，证明CD⊥平面EOM是解题的难点，属于基本知识的考查． 19．（12分）如图，已知直线l1：4x+y=0，直线l2：x+y﹣1=0以及l2上一点P（3，﹣2），求圆心在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．
考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆．
分析： 法一：利用待定系数法即可求圆C的方程；
法二：根据直线和圆相切的等价条件，联立方程组求出圆心和半径即可． 解答： 解：法一：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2， ∵圆C与直线l：x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），且圆心在直线4x+y=0上，
∴满足，解得a=1，b=4，r=，
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．
法二：过切点且与x+y﹣1=0垂直的直线方程为y+2=x﹣3， 即y=x﹣5与4x+y=0联立求得圆心为（1，﹣4）， 则半径r=
=
，
则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2=8．
点评： 本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相切的应用，利用直线和圆的位置关系求出圆心和半径是解决本题的关键．
20．（12分）已知函数f（x）=a﹣
，g（x）=
．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若关于x的方程g（2x）﹣a?g（x）=0有唯一的实数解，求实数a的取值范围．
考点： 函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）根据函数f（x）是R上的奇函数得：f（0）=0，代入解析式列方程，再求实数a的值；
（2）由题意先求出g（x）的解析式，代入方程进行化简得：22x﹣a?2x+1﹣a=0，利用换元法转化已知的方程，根据二次函数根的分布问题，列出不等式组求出实数a的取值范围． 解答： 解：（1）由题意知，f（x）是定义域为R上的奇函数， 所以f（0）=0，即a﹣（2）因为f（x）=a﹣
=0，解得a=1； ，所以g（x）=
+a×
==0，
，
将方程g（2x）﹣a?g（x）=0化为：
化简得22x﹣a?2x+1﹣a=0，
设t=2x，则t＞0，代入上式得t2﹣at+1﹣a=0，
因为关于x的方程g（2x）﹣a?g（x）=0有唯一的实数解， 所以关于t的方程t2﹣at+1﹣a=0有唯一的正实数解， 则1﹣a＜0或
，解得a＞1或a＞
，
所以实数a的取值范是（，+∞）．
点评： 本题考查函数奇偶性的性质，二次函数根的分布问题，以及有关方程根的转化问题，考查
换元法和转化思想． 21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．
（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 专题： 证明题． 分析： （I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC?平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；
（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM中求出此角的正弦值即可．
解答： 解：
（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC， ∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B， ∴AC⊥平面ABB1A1，又AC?平面B1AC， ∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．
（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，
∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A， ∴A1M⊥平面B1AC．
∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角， ∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°． 设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=
，
∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为
点评： 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． 22．（12分）已知f（x）对任意的实数m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，有f（x）＞1． （1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（1）=2，且关于x的不等式f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意的x∈=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），从而得到函数的单调性；
（3）f（ax﹣2）+f（x﹣x2）=f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3，根据f（1）=2及f（x）在R上为增函数即得x2﹣（a+1）x+3＞0对任意的x∈=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1）， ∴f（x2）＞f（x1），
即f（x）在R上为增函数；
（3）∵f（ax﹣2）+f（x﹣x2）=f（ax﹣2+x﹣x2）+1＜3 ∴f（ax﹣2+x﹣x2）＜2
又∵f（1）=2及f（x）在R上为增函数
∴ax﹣2+x﹣x2＜1对任意的x∈[1，+∞）恒成立， 即x2﹣（a+1）x+3＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立． 下面对△=（a+1）2﹣12的正负情况进行讨论： ①当△＜0，即（a+1）2﹣12＜0时，
2
②当△=0且x﹣（a+1）x+3=0的解小于1时，
则a=±故a=﹣
，x=；
，
③当△＞0且x2﹣（a+1）x+3=0的最大解小于1时， 即0＜a2+2a﹣11＜a2﹣2a+1， 解得综合所述，
或
或
，
．
点评： 本题主要考查了抽象函数，及其函数的单调性和不等式的解法，着重考查了函数的简单性质和函数恒成立问题等知识点，属于中档题．
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