2017年高考山东理科数学试题及答案（word解析版）

2，焦距为2． 2（1）求椭圆E的方程；

3（2）如图，动直线l：y?k1x?交椭圆E于A、B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，

2223，⊙M的半径为MC，OS、OT是⊙M且k1k2?，M是线段OC延长线上一点，且MC︰AB＝︰4的两条切线，切点分别为S、T，求?SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

x2c2解：（1）由题意知 e??，2c?2，所以 a?2,b?1，因此椭圆E的方程为?y2?1．

a22?x2?y2?1,??2（2）设A?x1,y1?,B?x2,y2?，联立方程?得4k12?2x2?43k1x?1?0，由题意知??0，

?y?kx?3,1??2的离心率为??1?k121?8k1223k112且x1?x2?2，所以 AB?1?k1x1?x2?2． ,x1x2??2k12?12k1?12?2k12?1??x22??y?1,222?2由题意知k1k2?，所以k2?，由此直线OC的方程为y? x．联立方程?4k14k142?y?x,?4k?11?8k128k121222得x?，因此 OC?x?y?． ,y?1?4k121?4k121?4k122?SOTr由题意可知 sin??2r?OCOC1?2k12321，而， ??2222OCr41?4k11?k1221?k11?8k11?r32k12?11?8k121?4k12OC3t31311令t?1?2k12，则t?1,??0,1?，因此 ????1，

22r22t?t?12t112?11?92??2?????tt?t2?4211?SOT1?SOT?当且仅当?，即t?2时等号成立，此时k1??，所以 sin?，因此?，

2t22226所以?SOT最大值为

?． 32?，取得最大值时直线l的斜率为k1??．

23综上所述：?SOT的最大值为