课题：等比数列的前n项和（第一课时）
（选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节）
一、教材分析
1.在教材中的地位与作用
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，“错位相减法”是一种重要的数学方法，它是求解“混合数列”前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识特点和能力培养而言，《等比数列的前n项和》不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养 2．教材的编排与例习题分析：
引言问题数学化建模?问题的解决?模型的一般化?等比数列前n项和公式?公式的直接运用（例1、课后练习1、2）?公式在实际问题中的运用（例2）?公式的综合运用（例3、例4、课后练习3、4）
（备注：．本节教材共计划两课时，下面是第一课时的教学设计。） 3.学生认知分析
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。另外，对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．
4. 学情分析
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨，对问题解决的一般性思维过程认识模糊． 5. 重点、难点
教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及方法实质的理解、公式的简单应用． 突出重点设计：“围绕三线、凸显重点”，即(一)知识技能线：问题情境→数学建模→问题解决→公式推导→公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳、 错位相减法、方程思想等；（三）能力线：数学建模能力→观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.
教学难点：等比数列的前n项和公式的推导及方法的理解．从学生认知水平来看，学生的探究能力、问题解决的一般性思维方式的运用以及和数学交流能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的前n项和公式的推导方法类比性不容易理解，它需要对等比数列的性质以及方程思想有较充分的理解并融汇贯通，而这对学生来说是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说也许有从天而降的突兀感觉.
突破难点设计：一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生积极探索；二抓思维突破的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生对等比数列各项特征的观察、剖析，深刻理解求和公式的实质即为“用等比数列基本量：a1,q,n来
1
表示Sn”，从而灵活运用整体代换的消元思想把n项缩减为两项。等差数列求和采用的是转化为各项相等的加法，最后用乘法缩减项数，等比数列呢？可引导学生观察等比数列的各项的特点获得思路上的突破，教师在学生主体下给予适当的提示和引导。 二、目标分析（三维）：
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的一些简单问题。一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n项和而逆向求解数列基本量；三是回归实际问题（国际象棋）的解决。
通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透方程、特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．
通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探究，从中获得 成功的体验，感受思维的力量美、形式的简洁美、数学的严谨美． 三、教学方法
利用多媒体等辅助教学，采用启发和探究及建构教学相结合的教学模式. 四、教学过程设计
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，运用情景教学激发学生兴趣并进行数学建模，引入主题，利用探究式教学初步形成解决问题的思路，遵照特殊到一般的原则最终解决公式的推导，利用练习辨析公式特征和强化公式运用中的方程思想，实际问题的解决中培养对前n和公式的情感。由此思路设计了如下的教学过程： 1.创设情境，提出问题 （阅读本章引言或多媒体展示）
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？
提出问题：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？
引导学生写出麦粒总数 1?2?22?23?L?263
23632.学生自主探究：S64?1?2?2?2???2
方法1.学生可能会想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时可对这种思路给予
肯定,同时指出其局限性。
方法2. 提取公比2
S64?1?2?22?23???263?1?2(1?2?22???262)
?1?2S64?264
?(1?2)S64?1?264 ?S64?264?1
设计方案：给与学生一定的思维时间,然后指出求和公式的实质即为“用等比数列基本量：
a1,q,n来表示Sn”，因此突破点在于”消元思想”的运用,引导学生回忆等差数列
前n项和推导方法和方程原理。将后面的和式代换为Sn的表达式，从而建立关于
Sn的方程。
2
方法3.（错项相减法）
设 s64=1+2+22+23+???+263 （）1
?2s64= 2+22+23+???+263+264 （2）6464 ?(1?2)S64?1?2 ?S64?2?1
设计方案: 引导学生理解:前n和求解也可理解为把n项和缩减为两项, 等差数列求和采用
的是转化为各项相等的加法，最后用乘法缩减项数，充分运用了等差数列的性质与特征,那么等比数列求和中如何将中间各项消掉呢?引导学生观察等比数列中项
的特点.
点评：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2
呢？
3.类比联想，由特殊到一般，将结论一般化 问题： 设等比数列?an?,首项为a1,公比为q，如何求前n项和sn？2n?2n?1 Sn? a1?a1q?a1q?La1q?a1q
?qSn= a1q?a1q2?a1q3?L?a1qn?1?a1qn
?(1-q)sn=a1-a1qn （评：由错项相减法达到了由求和式简化为两项式的目的） a1-a1qn(1)q?1时, sn=
1-q(2)q?1时, Sn?na1
综上:
?a1(1?qn)?s= n?1?q?na1?(q?1)(q?1)
点评:现在我们运用错项相减法推导出了等比数列前n项和公式,完成了我们最初的设想“用
a1,q,n来表示Sn”,请同学们在练习本上默写两遍.同时在公式运用等比数列基本量：
中注意”公比q是否等于1”的问题. 4. 辨析质疑
（1）口答：在公比为q的等比数列{an}中
①若a1?1,q?1，则Sn?________
22②若a1?2,q?1，则Sn?________ （2）判断是非：
1?(1?2n)①1?2?4?8???(?2)? （ ）
1?2n23n1?(1?2)②1?2?2?2???2? （ ）
1?2n?1③若a?0，则
a?a?a?L?a
2462na2[1?(a2)n]? （ ）
1?a23
（3）对公式的再认识与讨论交流，巩固提高．
①对公比q的分类讨论；②公式中n的理解
na（11-q） 结论： ? (q?1)?s=1-qn?
?na1 (q=1) ? *要求学生再默写一遍.
设计说明：理解公式的基础上,及时进行 “短、平、快”辨析质疑，强化了公式的结构特征，有助于学生第一次就形成严谨和完整的记忆.
5.变式训练, 延伸拓展，深化认识。
求等比数列1,1,1,1, 例1: ???前8项和；24816
（ 注：此为教材P140例1） 63变式1、 等比数列1,1,1,1,???前多少项的和是? 2481664 变式2、 等比数列1,1,1,1,???,求第3项到第10项的和.24816
备用例题1：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？
备用例题2：求和 1+a+a2+a3+L+an-1.
6 .故事结束，首尾呼应
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最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×10粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺．
设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维． 7.总结归纳，加深理解，强化记忆 （1）等比数列前n项和 ：Sn??? （ ）
? （ ）（2）推导方法：错项相减法.
(3)基本思想：特殊到一般、分类讨论、方程与消元。 8.课后作业，分层练习
必做： P143练习1（1）（3）2（2）；P143（习题3.5）1、2
选作：1.已知{an}是等比数列，请完成下表：
题号 (1) (2) (3) a1 1 2q 1? 22 3?2 n 8 an 8 ?96 Sn ?63 27 2.P143（习题3.5）3
思考题 :求和五、教学设计说明 x+2x2+3x3+L+nxn.1．情境设置故事化.
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本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步体会“数学来源于生活”， 采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲. 2．问题探究活动化．
教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思维的时间、探究的机会以及展示能力的舞台，通过他们自主学习、合作探究,分享学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦. 3．辨析质疑结构化．
在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”辨析质疑，通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，有助于学生形成准确的记忆和优化知识体系. 4．巩固提高梯度化．
例1采用变式教学,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生关于基本量方法中的方程思想，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力。
5．作业布置弹性化． 通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间．有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生学习数学的兴趣．
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