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第三章 导数及其应用
知识点 最新考纲 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义． 变化率与导数、导数的计算 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数). 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间． 导数在研究函数中的应用 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值. 第1讲 变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
f（x0＋Δx）－f（x0）Δy＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
ΔxΔxΔx→0Δx→0
lim
y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim
(2)导数的几何意义
Δyf（x0＋Δx）－f（x0）
＝lim. ΔxΔxΔx→0Δx→0
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim
f（x＋Δx）－f（x）
为f(x)的导函数．
ΔxΔx→0
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f′(x)＝0 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 最新Word
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f′(x)＝axln a f′(x)＝ex f′(x)＝ xln af′(x)＝ x11f(x)＝ex f(x)＝logax (x>0，a>0且a≠1) f(x)＝ln x(x>0) 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?
?f（x）?′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．
?2[g（x）]?g（x）?
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝
yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]
1．(选修2－2P65A组T2(1)改编)函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A．xsin x C．xcos x
B．－xsin x D．－xcos x
解析：选B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin
x.
2．(选修2－2P18A组T6改编)曲线y＝1－
2
在点(－1，－1)处的切线方程为x＋2
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________．
2
解析：因为y′＝2，所以y′|x＝－1＝2.
（x＋2）故所求切线方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0
32
3．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，
t则该机器人在t＝2时的瞬时速度为________．
332
解析：因为s＝t＋，所以s′＝2t－2，
tt313
所以s′|t＝2＝4－＝. 4413答案： 4[易错纠偏]
(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．
π??1．已知函数f(x)＝sin?2x＋?，则f′(x)＝________． 3??
π?π??π?π????解析：f′(x)＝[sin?2x＋?]′＝cos?2x＋?·?2x＋?′＝2cos?2x＋?. 3?3??3?3????π??答案：2cos?2x＋?
3??
?π??π?2．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′??sin x＋cos x，则f′??＝________．
?2??4??π?解析：因为f(x)＝f′??sin x＋cos x，
?2??π?所以f′(x)＝f′??cos x－sin x， ?2?
π?π??π?π
所以f′??＝f′??cos－sin，
22?2??2?
?π?即f′??＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x，
?2?
f′(x)＝－cos x－sin x.
ππ?π?故f′??＝－cos－sin＝－2. 44?4?答案：－2
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导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－4x)(2x＋1)；(2)y＝xsin x； (3)y＝3e－2＋e；(4)y＝ln(2x－5)．
【解】 (1)因为y＝(3x－4x)(2x＋1)＝6x＋3x－8x－4x＝6x－5x－4x，所以y′＝18x－10x－4.
(2)y′＝(x)′sin x＋x(sin x)′＝2xsin x＋xcos x. (3)y′＝(3e)′－(2)′＋e′＝(3)′e＋3(e)′－(2)′ ＝3eln 3＋3e－2ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)－2ln 2. (4)令u＝2x－5，y＝ln u，
12
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝.
2x－52x－5
xxxxxxxxxxxxxxx2
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
xxx
[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
1．已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝( ) A．e C．ln 2
2
B．1 D．e
解析：选B.因为f(x)＝x(2 017＋ln x)， 所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x， 又f′(x0)＝2 018， 所以2 018＋ln x0＝2 018，
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