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0，故函数和x轴有3个交点，方程8n－8n＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.
2．曲线f(x)＝e在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax－a(a≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．
解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1. 设其与曲线g(x)＝ax－a相切于点(x0，ax0－a)． 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax0－a＝x0＋1. 1
解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1，0)．
2所以过切点且与该切线垂直的直线方程为
2
2
2
32
x2
y＝－1·(x＋1)，即x＋y＋1＝0.
答案：x＋y＋1＝0
[基础题组练]
1．函数y＝xcos x在x＝1处的导数是( ) A．0 C．cos 1－sin 1
2
2
2
B．2cos 1－sin 1 D．1
2
2
解析：选B.因为y′＝(xcos x)′＝(x)′cos x＋x·(cos x)′＝2xcos x－xsin x，所以y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.
2．(2020·衢州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( )
A．0 1C. 2
B．－1 D．2
2
2
2
解析：选C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x－4)＝3x－2tx－4，所以f′(－1)＝31
＋2t－4＝0，即t＝. 2
3．(2020·温州模拟)已知函数f(x)＝x＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，
2
f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为( )
1A. 23C. 2
2
B．1 D．2
解析：选B.因为x1＜x2＜0，f(x)＝x＋2x， 所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
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因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直， 所以f′(x1)f′(x2)＝－1. 所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1， 所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
1
所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥－（2x1＋2）（2x2＋2）＝1，当且仅当－
2(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
31
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
22所以x2－x1的最小值为1.故选B.
4．已知f(x)＝ax＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝( ) A．－6 C．6
3
4
B．－8 D．8
解析：选D.因为f′(x)＝4ax－bsin x＋7. 所以f′(－x)＝4a(－x)－bsin(－x)＋7 ＝－4ax＋bsin x＋7. 所以f′(x)＋f′(－x)＝14. 又f′(2 018)＝6，
所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.
5.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 C．2
B．0 D．4
3
3
11
解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.
33又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知
f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×?－?＝0.
3
6．若点P是曲线y＝x－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( ) A．1 C.2
2
B.2 D.3
2
?1???
1
解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处
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的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝
7．已知f(x)＝________．
22
＝2.
ln x，g(x)＝(1＋sin x)2，若F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(x)的导函数为2
x＋1
（ln x）′（x＋1）－ln x（x＋1）′
解析：因为f′(x)＝ 22
（x＋1）（x＋1）－2xln x2xx＋1－2x2ln x＝＝， 22
（x＋1）x（x2＋1）2
1
2
22
g′(x)＝2(1＋sin x)(1＋sin x)′＝2cos x＋sin 2x，
x2＋1－2x2ln x所以F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝＋2cos x＋sin 2x.
x（x2＋1）2x2＋1－2x2ln x答案：＋2cos x＋sin 2x
x（x2＋1）2
121
8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x－3ln x的一条切线的斜率为－，
42则切点的横坐标为________．
1213
解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x－3ln x的导数为y′＝x－，可得切线的斜率
42x131
为m－＝－，解方程可得，m＝2. 2m2
答案：2
9．(2020·金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 018，若对任意的
x∈R，都有f′(x)＜2x成立，则不等式f(x)＜x2＋2 014的解集为________．
解析：构造函数g(x)＝f(x)－x－2 014，则g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(－2)＝f(－2)－2－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f(x)＜x2
2
2
2
2
＋2 014有f(x)－x－2 014＜0，即g(x)＜0＝g(－2)，所以x＞－2，不等式f(x)＜x＋2 014的解集为(－2，＋∞)．
答案：(－2，＋∞)
10．如图，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝
f（x）
，则g′(4)＝________． x
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解析：g′(x)＝?
?f（x）?′＝xf′（x）－f（x）.
?x2?x?
由题图可知，直线l经过点P(0，3)和Q(4，5)， 5－31
故k1＝＝.
4－02
1
由导数的几何意义可得f′(4)＝，
2因为Q(4，5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5. 14×－524×f′（4）－f（4）3
故g′(4)＝＝＝－. 2244163
答案：－
16
11．已知函数f(x)＝x＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
1
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
4解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． 因为f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1.
所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32.
1
(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，
4所以切线的斜率k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x0＋1＝4，所以x0＝±1.
???x0＝1，?x0＝－1，?所以或? ?y0＝－14??y0＝－18，?
23
2
3
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.
12．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程为3x－4y＋4＝0. (1)求a，b的值；
(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：y＝x，直线l2：x＝0围成的三角形的面积为定值．
bx
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