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解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－2(x≠0)． 3??f′（2）＝，4由题意得?
??3×2－4f（2）＋4＝0.
bxbx??44即?解得a＝1，b＝1.
?2a＋b?＝0.5－2????2??
1(2)证明：由(1)知f(x)＝x＋，
b3a－＝，x1?1?设曲线的切点为P?x0，x0＋?，f′(x0)＝1－2，
?x0?
x0
曲线在P处的切线方程为
y－?x0＋?＝?1－2?(x－x0)．
x0??x0??
2?1?2
即y＝?1－2?x＋.当x＝0时，y＝.
x?
1??
1?
?
0
?
x0x0
?2?即切线l与l2：x＝0的交点坐标为A?0，?.
x?
0
?
1?2??y＝?1－x＋，??x2??x＝2x0，0?x?0由?得?
?y＝2x0，???y＝x，
即l与l1：y＝x的交点坐标为B(2x0，2x0)．
1?2?又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S＝·|2x0|·??＝2.
2?x0?即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值．
[综合题组练]
1．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
2
?1?A.?－，＋∞?
?2?
C．(0，＋∞)
2
1
B．[－，＋∞)
2D．[0，＋∞)
12ax＋1
解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所
xx12
以2ax＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－2(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为
x[0，＋∞)．故选D.
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2．(2020·金华十校联考)已知函数y＝x的图象在点(x0，x0)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足( )
1
A．0＜x0＜ 2C.
2
＜x0＜2 2
2
22
1
B.＜x0＜1 2D.2＜x0＜3
2
解析：选D.令f(x)＝x，f′(x)＝2x，f(x0)＝x0，所以直线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x0＝2x0x－x0，因为l也与函数y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，1??2x＝，0112x1y′＝，所以l的方程为y＝x＋ln x1－1，这样有?所以1＋ln(2x0)＝x0，
xx1
??1－ln x1＝x20，
2
2
x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，又因
12x－1
为g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2＜0，g(2)
2
xx＝1－ln 22＜0，g(3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x0＜3，选D.
3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.
?π?若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在?0，?上是凸函
2??
数的是________(把你认为正确的序号都填上)．
①f(x)＝sin x＋cos x； ③f(x)＝－x＋2x－1；
3
②f(x)＝ln x－2x； ④f(x)＝xe.
x?π?解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－2sin?x＋?＜0
4??
11?π??π?在区间?0，?上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－2＜0在区间?0，?上
2?2?xx??
?π?2
恒成立；③中，f′(x)＝－3x＋2，f″(x)＝－6x在区间?0，?上恒小于0.④中，f′(x)
2???π?xxxxx＝e＋xe，f″(x)＝2e＋xe＝e(x＋2)＞0在区间?0，?上恒成立，故④中函数不是凸函
2??
数．故①②③为凸函数．
答案：①②③
4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)＝ae＋x，g(x)＝cos (πx)＋
x2
bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．
解析：f′(x)＝ae＋2x，g′(x)＝－πsin (πx)＋b，
x最新Word
f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1， f′(0)＝a，g′(1)＝b，
由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b， 又f′(0)＝b－1－a1－0
＝a，
即a＝b＝－1，则a＋b＝－2； 所以直线l的方程为x＋y＋1＝0. 答案：－2 x＋y＋1＝0
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5．设有抛物线C：y＝－x＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
2(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
9
解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
2
y1＝－x21＋x1－4，②
9
－2x1＋＝k，③
2
1
联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以k＝. 2(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.④ 132
将④代入抛物线方程得，x－x＋9＝0.
2设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9， 9
所以x2＝，y2＝－4.
2
92
?9?所以Q点的坐标为?，－4?. ?2?
6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f(x)＝ax＋3x－6ax－11，g(x)＝3x＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f′(x)＝3ax＋6x－6a， 因为f′(－1)＝0，
所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设
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切点为(x0，3x0＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，
所以切线方程为y－(3x0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1. 当x0＝－1时，切线方程为y＝9； 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9. 由(1)知f(x)＝－2x＋3x＋12x－11， ①由f′(x)＝0得－6x＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18； 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9， 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9. ②由f′(x)＝12得－6x＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10， 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.
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