2020高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理苏教

2019年

【2019最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线

问题教师用书理苏教

1．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为________． 答案

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解析 如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则AB＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)， ∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°， ∴BM＝AB＝2a，∠MBN＝60°，

∴y1＝MN＝BMsin∠MBN＝2asin 60°＝a，

x1＝OB＋BN＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝.

2.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为______________． 答案 ＋＝1

解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示，因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2. 由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′. 在Rt△PFF′中，由勾股定理， 得PF′＝＝＝8.

由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，

所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆的方程为＋＝1. 3．(2017·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆

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的离心率为________． 答案

2 2

解析 设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)， 将y＝kx代入椭圆方程可解得

x1＝，x2＝，

则CD＝|x1－x2|＝.

又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝， 所以S四边形ACBD＝d1·CD＋d2·CD ＝(d1＋d2)·CD＝··＝ab·. 令t＝，

则t2＝＝1＋2ab·b2＋a2k2 ＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，

当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝， 所以S四边形ACBD的最大值为ab. 由条件，得ab＝2c2，

即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0， 解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝.

4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________. 答案 2

解析 设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c＝OB＝2， 又∠AOB＝，

∴＝tan＝1，即a＝b.

2ab1＋k2

b2＋a2k2

k

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又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.

5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________． 答案 －＝1

解析 由题意得，双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标为(，0)，(－，0)，c＝且双曲线的离心率为2×＝＝?a＝2，b2＝c2－a2＝3， 所以双曲线的方程为－＝1. 题型一 求圆锥曲线的标准方程

例1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为______________． 答案 ＋＝1或＋＝1

解析 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，PF1＝，PF2＝. 由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF2＝2，即a＝. 由PF1>PF2知，PF2垂直于长轴． 故在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝， ∴c2＝，于是b2＝a2－c2＝.

又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．

(2015·天津改编)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，

且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________________． 答案 x2－＝1

解析 双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)， 则a2＋b2＝4，①

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

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由题意得＝，②

联立①②解得b＝，a＝1， 所求双曲线的方程为x2－＝1. 题型二 圆锥曲线的几何性质

例2 (1)(2015·湖南改编)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．

(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若CF＝2AF，且△ACE的面积为3，则p的值为________． 答案 (1) (2)

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解析 (1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4， 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2， ∴25a2＝9c2，∴e＝. (2)

由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)， ∴F，

AB＝AF＝p，

可得A(p，p)．

易知△AEB∽△FEC，∴＝＝， 故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×2 ＝p2＝3，

∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.

思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．

已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭

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