2019年
圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________． 答案 －1
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E. 当x＝时，代入抛物线方程得
y＝±p，
又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF. 所以PE＝ ＝p，
PF＝p，EF＝p.
故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1. 题型三 最值、范围问题
例3 设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解 (1)双曲线的离心率为， 则椭圆的离心率e＝＝，
?由??c＝
?b＝
a＝2，
2，2，
故椭圆M的方程为＋＝1. (2)由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2 又P到直线AB的距离d＝， x1＋x22－4x1x2 2019年 则S△PAB＝·AB·d＝···＝ ＝ 1 m28－m2 |m| 3 22 ≤·＝， 当且仅当m＝±2∈(－2，2)时取等号， ∴(S△PAB)max＝. 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围． (2016·盐城一模)如图，曲线Γ由两个椭圆T1：＋＝1(a>b>0)和椭圆T2： ＋＝1(b>c>0)组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼”． (1)若“猫眼曲线”Γ过点M(0，－)，且a，b，c的公比为，求“猫眼曲线”Γ的方程； (2)对于(1)中的“猫眼曲线”Γ，任作斜率为k(k≠0)且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值； (3)若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点(点N与点A，B不重合)，求△ABN面积的最大值． (1)解 由题意知，b＝，＝＝， ∴a＝2，c＝1， ∴T1：＋＝1，T2：＋x2＝1. (2)证明 设斜率为k的直线交椭圆T1于点C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段CD的中点为M(x0，y0)， ∴x0＝，y0＝， 由得 2019年 x1－x2 4 x1＋x2 ＋＝0. ∵k存在且k≠0，∴x1≠x2且x0≠0， 故上式整理得·＝－， 即k·kOM＝－. 同理，k·kON＝－2，∴＝. (3)解 设直线l的方程为y＝x＋m， ??y＝2x＋m， 联立方程得?y2x2 ＋＝1，??b2c2 整理得(b2＋2c2)x2＋2mc2x＋m2c2－b2c2＝0， 由Δ＝0，化简得m2＝b2＋2c2， 取l1：y＝x＋. ??y＝2x＋m， 联立方程?x2y2 ＋＝1，??a2b2 化简得(b2＋2a2)x2＋2ma2x＋m2a2－b2a2＝0. 由Δ＝0，得m2＝b2＋2a2， 取l2：y＝x－， l1，l2两平行线间距离 d＝， 又AB＝， ∴△ABN的面积最大值为S＝·AB·d ＝. 题型四 定值、定点问题 例4 (2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程； 2019年 (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 解 (1)因为AD＝AC，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以EB＝ED，故EA＋EB＝EA＋ED＝AD. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而AD＝4，所以EA＋EB＝4. 由题设得A(－1,0)，B(1,0)，AB＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． (2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以MN＝|x1－x2|＝. 过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)， 点A到m的距离为， 所以PQ＝2＝4. 故四边形MPNQ的面积 S＝MN·PQ＝12. 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8)． 当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，MN＝3，PQ＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8)． 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． (2016·北京)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)， O(0,0)，△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN·BM为定值．
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