2019年
(1)解 由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝. ∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)． 设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1. 当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)， 令x＝0，得yM＝. 从而BM＝|1－yM|＝. 直线PB方程为y＝x＋1. 令y＝0，得xN＝. ∴AN＝|2－xN|＝.
?∴AN·BM＝·??1＋x0－2?
??
2y0
＝·??
?＝???
x0＋2y0－2??
x0－2?
x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4??
x0y0－x0－2y0＋2?
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，BM＝2，AN＝2， ∴AN·BM＝4. 故AN·BM为定值． 题型五 探索性问题
例5 (2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
2019年
解 (1)圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设M(x，y)，
∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点， ∴由圆的性质知MC1⊥MO， ∴·＝0.
又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)， ∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0. 易知直线l的斜率存在， ∴设直线l的方程为y＝mx， 当直线l与圆C1相切时，d＝＝2， 解得m＝±.
把相切时直线l的方程代入圆C1的方程， 化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.
当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)． 又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点， ∴ ∴点M的轨迹C的方程为x2－3x＋y2＝0，其中 (3)由题意知直线L表示过定点(4,0)，斜率为k的直线，把直线L的方程代入轨迹C的方程x2－3x＋y2＝0，其中 记f(x)＝(k2＋1)x2－(3＋8k2)x＋16k2，其中 当Δ＝0时，解得k2＝，即k＝±，此时方程可化为25x2－120x＋144＝0，即(5x－12)2＝0， 解得x＝∈，∴k＝±满足条件． 2019年 当Δ>0时， ①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0?k＝0?另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意； ②若x＝是方程的解，则f＝0?k＝±?另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一个根，满足题意； ③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0?－ 思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法． (2016·苏州、无锡、常州、镇江二模) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点(点M与点A不重合)，点B为椭圆的右顶点，直线BM交椭圆C于点P. (1)求椭圆C的方程； (2)求证：AP⊥OM； (3)试问：·是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． (1)解 因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为， 所以a2＝2c2，所以a2＝2b2. 又因为椭圆C过点(1，)，所以＋＝1， 所以a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程＋＝1. (2)证明 设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为y＝k(x－2)，设P(x1，y1)， 将y＝k(x－2)代入椭圆C的方程＋＝1中， 2019年 化简得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0， 解得x1＝，x2＝2， 所以y1＝k(x1－2)＝，从而P(，)． 令x＝－2，得y＝－4k， 所以M(－2，－4k)，＝(－2，－4k)． 又因为＝(＋2，)＝(，)， 所以·＝＋＝0， 所以AP⊥OM. (3)解 因为·＝(，)·(－2，－4k) ＝＝＝4， 所以·为定值4. 1．(2015·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2. (1)解 由题设知＝，b＝1， 结合a2＝b2＋c2，解得a＝， 所以椭圆的方程为＋y2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 从而直线AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋kx2＋2－k x2 x1＋x2 x1x2 ＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
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