第一单元 直线运动的描述
[课本内容] 马文蔚，第四版，上册 [1]-[14] [典型例题]
???2例1-1． 已知质点的运动方程为r?6ti?(3t?4)j (SI)，则该质点的轨道
方程为 ；t?4s时速度的大小 ；方
向 。
??x?6t2解：运动方程的分量式???y?3t?42消t(1)???x?(y?4)4
3由（1）
dx??v?v2?v2?482?32?48.1(m/s)v??12txy?v?48???xdtxt?4??????? v?1y0v?3dy?334??y?v????tg?3yvx??dt?
例1-2．（课本ex1-3）如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上h高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率v0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动速度u= 。
解：由图知：
h2?s2?l2,
dsdl?2l dtdt两边对t求导 2s即 2s?(?u)?2l(?v0)
v0lh2?s2u?v??v?所以 00sscos?
另问：小船的运动是
(A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动
例1-3．灯距地面高度为h1，一个人身高为h2，在灯下以匀速率v沿水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M点沿地面移动 的速度为vM = ．
提示：h1 h1-h2h1?xxM
h1?xM?xh1?h2h1?vM?v
h1?h2h2 M x?x0,vt?0?v0,例1-4．匀加速直线运动。加速度 常数，且t?0 求v(t)、x(t)和v(x)。
vtdv解：?a(1)??dv??adt,?v?v0?at
dtv00dv又 ?v?v0?atdtxt??dx??(v0?at)dt,?x00vxx?x0?v0t?at2/2
2?v2?v0?2a(x?x0)
dvdxdv由（1）， ???adxdtdt
?v0?vdv??adxx0例1-5．一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为
a＝2＋6 x2 (SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
vxdvdvdx22解：2?6x?a??vdv?(2?6x)dx,?? ??dtdxdt00
练习一
一、选择题：
1-1．某质点作直线运动的运动学方程为x＝6+3t-5t3 (SI)，则该质点作 (A) 匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x轴正方向． (D) 变加速直线运动，． ［ ］ 提示： a?x''??30t ∴是变加速直线
v (m/s) 运动，加速度沿x轴负方向。选D。
2 1-2．一质点沿x轴作直线运动，其v?t曲
线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则1 2.5 4.5 t(s) t=4.5 s时，质点在x轴上的位置为 O 1 2 3 4 (A) 5m. (B) 2m． (C) 0． ?1 (D) 2m． (E) 5m. ［ ］
2?（1+2.5）(1?2)?1??3.5?1.5?2m ∴ 选提示：X?22 p B
1-3．图中p是一圆的竖直直径pc的上端点，一质点从p开始分别沿不同的弦无摩擦下滑时，到达各弦的下端所用的
a 时间相比较
(A) 到a用的时间最短 （B）到b用的时间最短． b (C) 到c用的时间最短． (D) 所用时间都一c 样．［ ］
提示：a?gcos?,s?2Rcos?,1-4．一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v?2 m/s，瞬时加速度
a??2m/s2，则一秒钟后质点的速度 (A) 等于零． (B) 等于2m/s． (C) 等于2m/s． (D) 不能
1s?at2,t?2Rg 2确定． ［ ］
提示：v与a的关系不明确，∴不能确定 。选 D
dv??kv2t，1-5．某物体的运动规律为式中的k为大于零的常量．当t?0时，dt初速v0，则速度v与时间t的函数关系是 ［ ］
1212111(A)v?kt?v0, (B)v??kt?v0, C) ??kt2?,
22v2v0111(D)???kt2?
v2v0dvdv111 提示：??kv2t?2?ktdt,积分得??kt2， ∴选C
dtvvv02
二、填空题：
1-6．两辆车A和B，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离 x与行驶时间t的函数关系式：xA = 4 t＋t 2，xB = 2 t 2＋2 t 3 (SI)，
(1) 它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________； (2) 出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是____________________； (3) 出发后，B车相对A车速度为零的时刻是__________________．
提示：(1)vA?4?2t2v，tB?4t?6t?0????Av?v B
(2)令XA?XB，可得t=0.436s
2 (3)令vA?vB，可得t?s
3
1-7．一质点沿x方向运动，其加速度随时间变化关系为a = 3+2 t (SI) , 如果初始时质点的速度v 0为5 m/s，则当ｔ为3s时，质点的速度v = .
v3mv提示：dv?ad?t(3?2)td?t?dv(3?2)t?dt?2 3 ?sv00
1-8．在x轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为v0，初始位置为x0，加速度a=Ct2（其中C为常量），则其速度与时间的关系为v?__________，运动学方程为x?_________．
vt1dt,v?v0?ct 3 提示：dv?adt?ct2dt,?dv??ct2v003xt1313dx?vdt?(v?ct)dt,dx?(v?ct)dt 00??x0033
1-9．半径为r＝1.5 m的飞轮，初角速度??0＝10 rad· s-1，角加速度 ?＝－5 rad· s-2，则在t＝___________时角位移为零，而此时边缘上点的线速度v ＝___________．
1???0t??t2,令??0，得t=0.4s提示：。
2???0??tv?r??15m/s
1-10．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0 m，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上．如果飞轮从静止开始做匀角加速运动且在4 s内绳被展开10 m，则飞轮的角加速度为___________．
1提示：s?att2， 可解得at，由at?R? 可得β=2.5rad/s2
2
三、计算题：
1-11．一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．
提示：dvdvdvdydv22a???ky????v?vdv??kydy?v2?v0??k(y2?y0)
dtdtdydtdy
1-12．一飞轮以等角加速度2 rad /s2转动，在某时刻以后的5s内飞轮转过了100 rad．若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？（直接套用公式）
1提示：???1t??t2,得?1?15rad/s 由?1??t1,得t1?7.5s
2
1-13．质量m＝2 kg的物体沿x轴作直线运动，所受合外力F＝10＋6x2 (SI)．如果在x=0处时速度v0＝0；试求该物体运动到x＝4 m处时速度的大小．
dvdvdxdvF?m?m??mv?10?6x2 提示：，
dtdxdtdtvdv?(5?3x2)dx,积分可得v?13m/s
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