2017年中央电大工程数学形成性考核册作业1-4参考答案.doc

中央电大工程数学作业（一）答案（满分100分）

第2章 矩阵

（一）单项选择题（每小题2分，共20分）

a1 ⒈设b1a2b2a1a3b3?2，则2a1?3b1a22a2?3b2a32a3?3b3?（D ）．

c1c2c3c1c2c3 A. 4 B. －4 C. 6 D. －6

0001 ⒉若

00a00200?1，则a?（A ）． 100a A. 12 B. －1 C. ?12 D. 1

⒊乘积矩阵?1?1?????103????521?中元素c?24?23?（C ）．

A. 1 B. 7 C. 10 D. 8

⒋设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）． A. A?B?1?A?1?B?1 B. (AB)?1?BA?1

C. (A?B)?1?A?1?B?1 D. (AB)?1?A?1B?1

⒌设A,B均为n阶方阵，k?0且k?1，则下列等式正确的是（D A. A?B?A?B B. AB?nAB

C. kA?kA D. ?kA?(?k)nA

⒍下列结论正确的是（ A）．

A. 若A是正交矩阵，则A?1也是正交矩阵

B. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵 C. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵 D. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB?0

⒎矩阵?13???25?的伴随矩阵为（ C）． ? A. ?1?3???13???25?? B. ???2?5??

C. ?5?3????53??21?? D.

???2?1?? ⒏方阵A可逆的充分必要条件是（B ）．

A.A?0 B.A?0 C. A*?0 D. A*?0 ⒐设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB?)?1?（D ）．

A. (B?)?1A?1C?1 B. B?C?1A?1 C. A?1C?1(B?1)? D. (B?1)?C?1A?1

⒑设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D ）． A. (A?B)2?A2?2AB?B2 B. (A?B)B?BA?B2

1

）． C. (2ABC)?1?2C?1B?1A?1 D. (2ABC)??2C?B?A?

（二）填空题（每小题2分，共20分）

2?1 ⒈1?40?1 ⒉100? 7 ． ?11011?1x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． 1?15 ⒊若A为3?4矩阵，B为2?5矩阵，切乘积AC?B?有意义，则C为 5×4 矩阵．

?11? ⒋二阶矩阵A???第一横排 3 5 第二横排 5 8 ??01??12???120??06?3??? ⒌设A?40,B??，则(A?B)????5?18? ???3?14???????34??⒍设A,B均为3阶矩阵，且A?B??3，则?2AB? 72 ．

⒎设A,B均为3阶矩阵，且A??1,B??3，则?3(A?B?1)2? －3 ．

?1a??为正交矩阵，则a? 0 ． 01???2?12??? ⒐矩阵402的秩为 2 ． ????0?33?? ⒏若A???A1 ⒑设A1,A2是两个可逆矩阵，则??O（三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设A??O?A2???1?A1?1???OO?． ?1?A2??12???11??54?，求⑴A?B；⑵A?C；⑶2A?3C；⑷A?5B；⑸AB；,B?,C????????35??43??3?1?6??1716?2A?3C? ?37?

4????7??5621??(AB)C? ?15180? 12????⑹(AB)?C．

?03??6A?C?答案：A?B?? ??0?18???2622??7A?5B??AB? ??23?120??

??114???121??103??3?21?，求AC?BC．

,B?,C? ⒉设A????21?1????0?12?????002????114??024?????6?410? 解：AC?BC?(A?B)C??3?21?????2210??201??0??02??? 2

? ⒊已知A??310??102???121??42?,B?????111?，求满足方程3A?2X?B中的X． 11??3???2??解：?3A?2X?B

??43?1?? ? X?11??83?2??2?2(3A?B)?2??252??5????7115????121? ?7115????222?? ⒋写出4阶行列式

1020?143602?53 3110中元素a41,a42的代数余子式，并求其值．

020120答案：a?141?(?1)4436?0 a42?(?1)4?2?136?45

2?530?53 ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

?122???1234?? ⑴ ?312??1000?0??21?2?2??； ⑵ ??2?21????111?1??； ⑶

?110?0??． ?10?2?6???111?1111??解：（1）

?122100???2r?1?r122100?2?0?2?120???A|I????21?2010?????2r21???r3???0?3?6?210?3r2?r1?1????2r2???r3???0?3?6?32310???2?21001????0?6?3?201????0092?21??????13r2??12??1?10?230????122?999?2r??9?r3???01223?10????23?rr1?1003???r2??212??0013?23?010??00199?9?21??99???2219????9?99????122?9?A?1??9?219???2? ?9919???2?2??999????22?6?2617??1000?（2）A?1???17520?13???(过程略) (3) A?1???1100?????102?1??0?110? ?4?1?53????00?11?? 3

?1?1 ⒍求矩阵??1??2?1?1?010110111123011210001?0??的秩． 1??1?1??1?01?101?1?1??r?r24??????011011?1?101?1?1??01101011011??r?r?112?0?r1?r3101100??2r?r4???1??????1012101??00011?10?解：

?2113201????01?112?2?1????1011011???r3??r4??01?101?1?1?????00011?10??0000000??（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A，试证A?A?是对称矩阵．

证明：(A?A')'?A'?(A')'?A'?A?A?A'

? A?A?是对称矩阵

⒏若A是n阶方阵，且AA??I，试证A?1或?1．

证明：? A是n阶方阵，且AA??I

? AA??AA??A2?I?1

?

A?1或A??1

⒐若A是正交矩阵，试证A?也是正交矩阵． 证明：? A是正交矩阵

? A?1?A?

? (A?)?1?(A?1)?1?A?(A?)?

即A?是正交矩阵

工程数学作业（第二次）

第3章 线性方程组

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

?x1?2x2?4x3?1?x ⒈用消元法得?1??x0的解?x??2?x3?为（C ）．

??x?23?2???x3?? A. [1,0,?2]? B. [?7,2,?2]? C. [?11,2,?2]? D. [?11,?2,?2]?

?x1? ⒉线性方程组?2x2?3x3?2?x?x3?6（B ）． ?1??3x2?3x3?4 A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

??00011?10??00011?10??? R(A)?3

(满分100分)

4

?1??0??0??1??3??????????? ⒊向量组0,1,0,2,0的秩为（ A）． ????????????0????0????1????1????4?? A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

?1??0??1??1??1??0??0??1? ⒋设向量组为?1???,?2???,?3???,?4???，则（B ）是极大无关组．

?0??1??1??1??????????0??1??0??1? A. ?1,?2 B. ?1,?2,?3 C. ?1,?2,?4 D. ?1

⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）． A. 秩(A)?秩(A) B. 秩(A)?秩(A) C. 秩(A)?秩(A) D. 秩(A)?秩(A)?1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组?1,?2,?,?s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A，Ｂ为n阶矩阵，?既是Ａ又是Ｂ的特征值，x既是Ａ又是Ｂ的属于?的特征向量，则结论（ ）成立．

Ａ．?是AB的特征值 Ｂ．?是A+B的特征值

Ｃ．?是A－B的特征值 Ｄ．x是A+B的属于?的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．AB?BA Ｂ．(AB)??AB Ｃ．PAP?1?B Ｄ．PAP??B （二）填空题(每小题2分，共16分)

?x1?x2?0 ⒈当?? １ 时，齐次线性方程组?有非零解．

?x?x?02?1 ⒉向量组?1??0,0,0?,?2??1,1,1?线性 相关 ．

⒊向量组?1,2,3?,?1,2,0?,?1,0,0?,?0,0,0?的秩是 ３ ．

⒋设齐次线性方程组?1x1??2x2??3x3?0的系数行列式?1?2?3?0，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量?1,?2,?3是线性 相关 的．

⒌向量组?1??1,0?,?2??0,1?,?3??0,0?的极大线性无关组是?1,?2． ⒍向量组?1,?2,?,?s的秩与矩阵??1,?2,?,?s?的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX?0中有5个未知量，且秩(A)?3，则其基础解系中线性无关的解向量有 ２ 个． ⒏设线性方程组AX?b有解，X0是它的一个特解，且AX?0的基础解系为X1,X2，则AX?b的通解为X0?k1X1?k2X2．

5

9．若?是Ａ的特征值，则?是方程?I?A?0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A?1?A? ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组

??x1?3x2?2x3?x4?6??3x1?8x2?x3?5x4?0??2x1?x2?4x3?x4??12 ???x1?4x2?x3?3x4?2解：

??1?3?2?16??3r?r?1?3?2?16?3r?r?101923?48?3?8150???2r12211?r3??5r2?r3?A???r?1?r4???0178?18??r1?r40178?18????21?41?12???????02739?90???14?1?32??0?5?8?10??0???01?3?48????00?10?1226??3r4?r3??101923?48??101923?48??19r?42?124????12?r4??0178?18??1r3?0178?18?r?10015?46???003?312????3????001?14??7r31?5r3?r2?3?r401???????0?001?14???0056?13????0056?13????00011?33????10042?124?0002?1?11??r4??01015?46??100?1??x1?2??001?14??1542rr4?r1?4?r2?1??r?4?r?3???0?00101?? ?方程组解为???x2??1

?0001?3????0001?3??x3?1???x4??3２．设有线性方程组

???11??x??1??1?1??y?????????? ?11?????z?????2???? 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

??111??11??2??r?r?1?2?A???1?1??1??r?1??r3??1?1??????1r21???r3???0??11?????2????11??2??????111??01??1??21??3?解：

??????］

11??2??r?2??r3???0??11???(1??)????00(2??)(1??)(1??)(1??)2??? 当??1且???2时，R(A)?R(A)?3，方程组有唯一解

当??1时，R(A)?R(A)?1，方程组有无穷多解

３．判断向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

???8????2??3???5?????3?7???5????7??,????1?,??,??6?12??3??? ??10?????3????0???2????3??1?? 解：向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，当且仅当方程组?1x1??2x2??3x3??有解

6

???23?5?8??1037?这里 A???1?341?1,?2,?3,????7?5?6?3???????????????0??1037?010?117? ?3?21?10????0?000571??R(A)?R(A)

? 方程组无解

? ?不能由向量?1,?2,?3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

??1????3???1??1??1?7????????2??,????,??3????9??12??83??0?,?4??3???????6??

???9???3??3??4????13?????3????6????13?11??13?11??1?7?3112???,??9????0?解：12,?3,?4????2806????????????00018??39?33????0000? ???413?36????0000???该向量组线性相关

５．求齐次线性方程组

??x1?3x2?x3?2x4?0???5x1?x2?2x3?3x4?0??x1?11x 2?2x3?5x4?0??3x1?5x2?4x4?0的一个基础解系． 解：

??1?31?2?5r?r?1?31?2??3514r2?r?1?10?1?A???51?23?r1213?rr3?1?r0?143?7????????4????r??1?112?5??0?14????r2?r32??r4???0?1414?3?2?7??7 0???3504???3?014?310??000???0003???05051?1??1r?1214?1??2??114?2?2r3?r1?1050???r?14?3??r4??1?14?01?31?12??2??1???2r3???r2??01?30?? ?00014??3??r3??01?331????00014???000141???0000????0000????0000????x1??5x3?5??14???? 方程组的一般解为??x3314???2?14x3 令x3?1，得基础解系 ????14? ??x4?0?0?????1?? ６．求下列线性方程组的全部解．

7

??x1?5x2?2x3?3x4?11???3x1?x2?4x3?2x4??5??x1?9x2?4x

4?17??5x1?3x2?6x3?x4??1解：

??1?52?311?3r?r?1?52?311??5r?91?2?r1107?1?A???31?42?5?r121?r3?0?142?728?????142r?r2?r32?2728???1?90?417????5r1???r4????728???2??r4????0?14?00000???536?1?1???0?142?028?414?56????00000????1097?11????1?14?r2????01?112?2??x??7x?1x?4?1 ?方程组一般解为??1?932

?0007200?????x??1x?1x?2?00000??27324?令x3?k1，x4?k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解

??x?71??1???k1?k2?1???7??1?9???x?2?192?2??1????x???7k1?1??1???2?1?k2?2??k1???k2?????? 3??x??k2???7?1???2?0????0?1?4???k2????0????1???0?７．试证：任一４维向量???a1,a2,a3,a4??都可由向量组

??1??1????1??1??0??11??1?1?????0?，?2????0?，?3????1?，?4?????0????0????0???1?

?1??线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式．

??1??0???????0???0?证明：?0 ???1??? ?0?0?1?2??13??2???0???1? ?4??3????0?

?0????0??0????0????1??任一４维向量可唯一表示为

??a1??1??0??0??0?a??0????1???0??0????2??a1???a2?a3???a4???a1?1?a2(?2??1)?a3(?3??2)?a4(?4??a?3)

3??a???0????0????1???0?4??0??0??0???1???(a1?a2)?1?(a2?a3)?2?(a3?a4)?3?a4?4

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．证明：设AX?B为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R(A)?R(A)?n

从而AX?B有唯一解当且仅当R(A)?n

而相应齐次线性方程组AX?0只有零解的充分必要条件是R(A)?n

? AX?B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX?0只有零解

8

9．设?是可逆矩阵Ａ的特征值，且??0，试证：1?是矩阵A?1的特征值． 证明：??是可逆矩阵Ａ的特征值

? 存在向量?，使A????

?

I??(A?1A)??A?1(A?)?A?1(??)??A?1???

?A?1??1?? 即

1?是矩阵A?1的特征值 10．用配方法将二次型f?x21?x2222?x3?x4?2x1x2?2x2x4?2x2x3?2x3x4化为标准型． 解：

f?(x?x22221?x2)23?x4?2x2x4?2x2x3?2x3x4?(x1?x2)2?x3?2x3(?x2?x4)?x4?2x2x4

?(x?xx2212)2?(x3?x2?4)?x2

? 令y1?x1?x2，y2?x3?x2?x4，y3?x2，x4?y4

??x1?y1?y3即??x2?y3?x3?y2?y

3?y4??x4?y4则将二次型化为标准型 f?y21?y222?y3

工程数学作业（第三次）(满分100分)

第4章 随机事件与概率

（一）单项选择题

⒈A,B为两个事件，则（ B）成立．

A. (A?B)?B?A B. (A?B)?B?A C. (A?B)?B?A D. (A?B)?B?A ⒉如果（ C）成立，则事件A与B互为对立事件． A. AB?? B. AB?U

C. AB??且AB?U D. A与B互为对立事件 ⒊ C

4. 对于事件A,B，命题（D ）是正确的． A. 如果A,B互不相容，则A,B互不相容 B. 如果A?B，则A?B C. 如果A,B对立，则A,B对立

D. 如果A,B相容，则A,B相容

⒌某随机试验的成功率为p(0?p?1),则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D ）． A.(1?p)3 B. 1?p3 C. 3(1?p) D. (1?p)3?p(1?p)2?p2(1?p)

6.设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?4.8,D(X)?0.96，则参数n与p分别是（A ）． A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.2

7.设f(x)为连续型随机变量X的密度函数，则对任意的a,b(a?b)，E(X)?（A ）． A. ?????xf(x)dx B.

?baxf(x)dx C.

?baf(x)dx D.

?????f(x)dx

8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B ）．

9

?3?????sinx,??x??sinx,0?x? A. f(x)??22 B. f(x)??2

??其它其它?0,?0,3??sinx,0?x??sinx,0?x??? C. f(x)?? D. f(x)?2?其它?0,?0,其它?9.设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，则对任意的区间(a,b)，则P(a?X?b)?（ D）．

A. F(a)?F(b) B. C. f(a)?f(b) D.

??babF(x)dx f(x)dx

2a10.设X为随机变量，E(X)??,D(X)??，当（C ）时，有E(Y)?0,D(Y)?1． A. Y??X?? B. Y??X?? C. Y?X??? D. Y?X???2

（二）填空题

⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为

2． 52.已知P(A)?0.3,P(B)?05.，则当事件A,B互不相容时，P(A?B)? 0.8 ，P(AB)? 0.3 ． 3.A,B为两个事件，且B?A，则P(A?B)?P?A?．

4. 已知P(AB)?P(AB),P(A)?p，则P(B)?1?P．

5. 若事件A,B相互独立，且P(A)?p,P(B)?q，则P(A?B)?p?q?pq．

6. 已知P(A)?0.3,P(B)?05.，则当事件A,B相互独立时，P(A?B)? 0.65 ，P(AB)? 0.3 ．

x?0?0?7.设随机变量X~U(0,1)，则X的分布函数F(x)??x0?x?1．

?1x?1?8.若X~B(20,0.3)，则E(X)? 6 ．

29.若X~N(?,?)，则P(X???3?)?2?(3)．

10.E[(X?E(X))(Y?E(Y))]称为二维随机变量(X,Y)的 协方差 ． （三）解答题

1.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C的运算分别表示下列事件： ⑴ A,B,C中至少有一个发生； ⑵ A,B,C中只有一个发生； ⑶ A,B,C中至多有一个发生； ⑷ A,B,C中至少有两个发生； ⑸ A,B,C中不多于两个发生； ⑹ A,B,C中只有C发生．

解:(1)A?B?C (2)ABC?ABC?ABC (3) ABC?ABC?ABC?ABC (4)AB?AC?BC (5)A?B?C (6)ABC

2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： ⑴ 2球恰好同色；

⑵ 2球中至少有1红球．

解:设A=“2球恰好同色”，B=“2球中至少有1红球”

22112C3?C2C3C2?C33?126?39P(A)???P(B)??? 221051010C5C53. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道

10

工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率． 解：设Ai?“第i道工序出正品”（i=1,2）

P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?(1?0.02)(1?0.03)?0.9506

4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．

解：设A1?\产品由甲厂生产\ A2?\产品由乙厂生产\ A3?\产品由丙厂生产\

B?\产品合格\

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3) ?0.5?0.9?0.3?0.85?0.2?0.80?0.865

5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p，求所需设计次数X的概率分布． 解：P(X?1)?P

P(X?2)?(1?P)P P(X?3)?(1?P)2P …………

P(X?k)?(1?P)k?1P …………

故X的概率分布是

??123??k????p(1?p)p(1?p)2p??(1?p)k?1p???? 6.设随机变量X的概率分布为

?0123456???01.015.0.20.3012.01.0.03?? 试求P(X?4),P(2?X?5),P(X?3)．

解：

P(X?4)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?0.1?0.15?0.2?0.3?0.12?0.87 P(2?X?5)?P(X?2)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)?0.2?0.3?0.12?0.1?0.72 P(X?3)?1?P(X?3)?1?0.3?0.7 7.设随机变量X具有概率密度

f(x)???2x,0?x?10, ?其它试求P(X?12),P(14?X?2)． 111解：P(X?122)????f(x)dx??2102xdx?x202?4 P(1(x)dx??112xdx?x214?X?2)??21f1?1544416 8. 设X~f(x)???2x,0?x?1，求E(X),D(X)．?0,其它

解：E(X)????12??xf(x)dx??0x?2xdx?x3130?23 E(X2)????x2f(x)dx??1x2?2xdx?2??04x4110?2

D(X)?E(X2)?[E(x)]2?1212?(3)2?18

9. 设X~N(1,0.62)，计算⑴P(0.2?X?18.)；⑵P(X?0)． 解：

11

P(0.2?X?1.8)?P(?1.33?P(X?0)?P(X?1?1.33)??(1.33)??(?1.33)?2?(1.33)?1?2?0.9082?1?0.8164 0.2X?1?1.67)?1??(1.67)?1?0.9525?0.0475 0.621n10.设X1,X2,?,Xn是独立同分布的随机变量，已知E(X1)??,D(X1)??，设X??Xi，求

ni?1E(X),D(X)．

1解：E(X)?E(n ??i?1nXi)?11E(X1?X2????Xn)?[E(X1)?E(X2)????E(Xn)] nn1n??? n1n11D(X)?D(?Xi)?2D(X1?X2????Xn)?2[D(X1)?D(X2)????D(Xn)]

ni?1nn11 ?2?n?2??2

nn

工程数学作业（第四次）

第6章 统计推断

（一）单项选择题

2 ⒈设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?)（?,?均未知）的样本，则（A）是统计量．

2 A. x1 B. x1?? C.

x122?22 ⒉设x1,x2,x3是来自正态总体N(?,?)（?,?均未知）的样本，则统计量（D）不是?的无偏估计．

1 A. max{x1,x2,x3} B. (x1?x2)

2 C. 2x1?x2 D. x1?x2?x3

（二）填空题

1．统计量就是 不含未知参数的样本函数 ．

2．参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 ．常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法．

3．比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 ．

2 4．设x1,x2,?,xn是来自正态总体N(?,?)（?已知）的样本值，按给定的显著性水平?检验

2 D. ?x1

?/n 5．假设检验中的显著性水平?为事件|x??0|?u（u为临界值）发生的概率．

（三）解答题

1．设对总体X得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0

试分别计算样本均值x和样本方差s．

2H0:???0;H1:???0，需选取统计量U?x??0．

12

1101xi??36?3.6 解： x??10i?110

11012(x?x)??25.9?2.878 s??i10?1i?192

2．设总体X的概率密度函数为

?(??1)x?,0?x?1 f(x;?)??其它?0,试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数?． 解：提示教材第214页例3

1??1n??2x?1 ?x??xi,?矩估计：E(X)??x(??1)xdx?02??ni?11?x1?最大似然估计：

L(x1,x2,?,xn;?)??(??1)xi??(1??)n(x1x2?xn)?

i?1nndlnLnlnL?nln(??1)???lnxi,???lnxi?0，????d???1i?1i?1nn?lnxi?1n?1

i 3．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m）：

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

2222测量值可以认为是服从正态分布N(?,?)的，求?与?的估计值．并在⑴??2.5；⑵?未知的情况下，分别求?的置信度为0.95的置信区间．

151522??x??xi?110 ???s?解： ??(xi?x)?1.875

5i?15?1i?1 （1）当?2?2.5时，由1－α＝0.95，?(?)?1??2?0.975 查表得：??1.96

故所求置信区间为：[x??222?ns,x???ns]?[108.6,111.4]

（2）当?未知时，用s替代?，查t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信区间为：[x????2.776

nn24．设某产品的性能指标服从正态分布N(?,?)，从历史资料已知??4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平??005.，问原假设H0:??20是否成立．

x??017?203|?||??0.237， 解：|U|?|4?3.162?/n4/10由?(?)?1?,x??]?[108.3,111.7]

?2因为 |U|?0.237 > 1.96 ，所以拒绝H0

?0.975 ，查表得：??1.96

5．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：

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20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（??005.）．

2解：由已知条件可求得：x?20.0125 s?0.0671

|T|?|x??0s/n0.259/8??t(n?1,0.05)?t(9,0.05)?2.62

|?|20.0125?20|?0.035?0.1365 0.259∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H0

即用新材料做的零件平均长度没有变化。

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