在以B为参照的平动系中（即B为原点，且坐标轴方向不变的参照系，想象一下在摩天轮车厢里面的人），A相对B的速度
vAB?(???)l
(4分)
(1分)
所以A对地面速度为vB和vAB的矢量和 由能量守恒，其中使用了余弦定理
111mv02?m(?r)2?m[(?r)2?(???)2l2?2cos?(?r)(???)l] 222(6分)
由角动量守恒，其中使用了矢量叉乘定义
mv0(r?l)?m?r2?m[(?r)r?(???)l2?(?r)lcos??(???)lrcos?]
(6分)
为了计算方便，做无量纲化：x??rv0，y?
?l
v0
得到
1?(6?4cos?)x2?(8?4cos?)xy?4y2
3?(6?4cos?)x?(4?2cos?)y
3得到 2代入cos??
x?0.13；y?0.31
（另一个解x?0.50，y??0.31代表相对运动反向时的情景，未给出不扣分）
得到圆筒角速度：??0.13v0 r（5分）
注1：这个参照系中绳子与x轴转角为???，因而角速度为???。若将由结果误写为
vAB??l，能量守恒和角动量守恒方程只要形式正确不重复扣分，但不给结果分。
注2：对于题设情景，可以计算绳子拉力，发现一直大于0，所以绳子不会软。
注3：保留cos?形式不变，可以得到??41?时，y只有一个解为0；即此时相对角速度反向，也就是说，相对转角最大为41?。 四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验：造一个大电磁铁，正上面放一个细铁环，半径为R?10cm，横截面为一个半径为r?1mm的圆，电导率为??3.7?10?m，密度为??2.7?10kg?m，真空介电常数已知。在铁环的位置磁场大小为B?kI，
3?37?1?1k?0.2?10?2N?A?2?m?1，方向与竖直夹角??30?，假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不
联系我们：
变。在磁铁中通入如下的正弦交流电，频率均为f?10kHz（很高），振幅大小为I0
B? ? BI(t)I(t)
t
在这种情景下是否可以造成“悬浮”的现象，如果可以，估算出I0的大小，如果不可以说明理由。（圆环的自感约为6?10H，需要计算说明是否可以忽略） 【解答】
假设电流为I?I0cos?t 则磁通量为
?7?(t)?kI0?R2cos?cos?t
电动势为
（2分）
???d?(t)???kI0?R2cos?sin?t??kI0?R2cos?cos(?t?) （3分） dt2
（2分）
圆环电阻为
r0?2?R2R?3??5.4?10? 22??r?r?cos(?t?) r02若忽略电感应，则感应电流为
i(t)???安培力平均值向上为正
F(t)??i(t)B(t)sin?2?R?cos(?t)cos(?t?)?0
2?（3分）
因而忽略电感导致不可以悬浮，因而不可忽略 （2分） 利用感抗大小说明不扣分，不说明理由或者理由错误不给分。 保留电感，电路的方程可以写为
?(t)?r0i(t)?L令i(t)?i0cos(?t?
di dt （3分）
?2??)，代入得到
?0cos(?t)?i0[cos(?t??2??)r0??Lsin(?t??2??)]
联系我们：
?i0r02??2L2cos(?t?其中利用辅助角公式sin??于是安培力平均值
?2????)
（2分）
?L(?L)?r022，??82?
F(t)??i(t)B(t)sin?2?R
???k2I02cos?sin?r02??2L22?Rcos(?t?)cos(?t???) （2分）
22??由于悬浮合外力平均值等于0（利用积化和差公式）
mg??k2I02?R2cos?sin?r0??L2222?Rsin? 2 （2分）
代入数值得到
I0?1.37A
（4分）
（作为估算，认为?L?r0，?近似为90?得到I0?1.35A，同样给全分）
五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压大于Uc?6V时，输出端相当于和地线之间短路；当输入端电压小于Uc时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压U0?12V。等效电路图如图所示。不同非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下图电路中VO2随着时间的变换关系。
Vi?6V ViVO?12VVO?12V
tRCVi?6V ViVO?0VViG1 VO1 RG2 VO2VO?0V
C
提示：已知如左下图的RC电路，从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为：
UC(t)?U0(1?e?)
联系我们：
UCCUC(t)?U0(1?e R
?tRC)U0t
【解答】
等效电路如图所示，可见电流只在VO1-R-C-VO2回路中流动。
ViVVO1VO2V RC
假设系统存在稳态，则电容电量为常数，因而电阻上电流为0，则G1输入电压等于输出电压，这显然矛盾，因而系统不存在稳态。
不失一般性，电容初态电压为0，系统初态VO1?0V，因而VO1?12V
电路沿逆时针给电容充电（电阻I上电流从下向上为正，电容电量Q右边记为正） 当Q?Q0?UcC时候，门反向，进入I
I 门反向，此时VO1?12V，VO2?0V，由于电容上电量不突变，所以
Vi?0V?Q0??6V C因而电路沿顺时针给电容反向充电，新充入电量为?Q
12V?0V??IR?Q0??Q?Q；即18V??IR? CCVi不断上升，到达Uc?6V时，Q1?Q0??Q??UcC时，门反向，进入II
类比题目中的RC电路有，此过程历时tI?RCln3
II 门再次反向，此时VO1?0V，VO2?12V，由于电容上电量不突变，所以
Vi?12V?Q1?18V C因而电路沿逆时针给电容正向充电，新冲入电量为?Q'
0V?12V=?IR?Q1??Q'?Q'；即18V=IR? CC联系我们：
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