2021-2022年高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本(均值)不等式及应用真题演练集训理新人教A

2021年高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本(均值)不等式及应用真题

演练集训理新人教A版

1．[xx·江苏卷]在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．

答案：8

解析：由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C，得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 两边同时除以cos Bcos C，得 tan B＋tan C＝2tan Btan C， 令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m， 因为△ABC是锐角三角形， 所以2tan Btan C>2tan Btan C， 则tan Btan C>1，m>2. 又在三角形中有

tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C 1m24

＝－·m＝＝m－2＋＋4

12m－2m－21－m2

m≥2

m－2·＋4＝8，

m－2

4

，即m＝4时等号成立， m－2

4

当且仅当m－2＝

故tan Atan Btan C的最小值为8. 实用文档

2．[xx·福建卷]要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．

答案：160

解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的4

容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y＝20×4＋

x2×4???4?

10?2x＋?＝80＋20?x＋?≥80＋20×2?

x?

?

x?

x×＝160，当且仅当x＝，即x＝2时等

xx44

号成立，

所以该容器的最低总造价为160元．

1|a|

＋取得最小值． 2|a|b3．[xx·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，

答案：－2

解析：∵a＋b＝2， 1|a|2|a|＋＝＋ 2|a|b4|a|b∴

＝

a＋b|a|ab|a|

＋＝＋＋ 4|a|b4|a|4|a|ba＋2 4|a|

b|a|a×＝＋1. 4|a|b4|a|

≥

b|a|

当且仅当＝且a<0，

4|a|b1|a|

即b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．

2|a|b实用文档

课外拓展阅读

基本(均值)不等式在压轴题中的应用

关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．

1．与数列搭配

基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．

[典例1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a1＝1，且a1，a2，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的前n项和Sn；

2Sn64bn(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：2Tn－9bn－1＋18>(n>1)．

2n－1n＋9bn＋1[思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{bn}满足bn＝2Sn，这是一个等差数列的前n项和与一个关于n的一次函数之比，数列{bn}极可能也2n－1

是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．

(1)[解] 因为a1，a2，a7成等比数列， 所以a2＝a1a7，即(a1＋d)＝a1(a1＋6d)． 又a1＝1，d≠0，所以d＝4.

2

2

所以Sn＝na1＋

nn－1

2

d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n.

2Sn2n2n－1

(2)[证明] 因为bn＝＝＝2n，

2n－12n－1实用文档