...
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+6x+c（a≠0）交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5），点B的坐标为（1，0）． （1）求此抛物线的解析式及定点坐标；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得关于a、c的方程组，然后解方程组即可，再把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）先解方程﹣x+6x﹣5=0得C（5，0），则BC=4，再利用勾股定理计算出AB=如图1，证明Rt△ABO∽Rt△BCE，利用相似比可计算出CE=
2
，作CE⊥BD于E点，
，
，则根据切线的性质得⊙C的半径为
然后根据直线与圆的位置关系的判定方法判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系；
（3）讨论：当∠PCA=90°时，如图3，CP交y轴于Q，利用△AOC为等腰直角三角形可得到△OCQ为等腰直角三角形，则直线CQ的解析式为y=﹣x+5，于是解方程组
得此时点P坐标；当∠PAC=90°
时，如图4，过点P作PF⊥y轴于点F，利用△AOC为等腰直角三角形得到△PAF为等腰直角三角形．设点P
...
...
坐标为（t，﹣t2+6t﹣5），则﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t，然后解方程求出t即可得到此时点P坐标． 【解答】解：（1）把A（0，﹣5），B（1，0）代入y=ax2+6x+c得∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5， ∵y=﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（3，4）；
（2）抛物线的对称轴与⊙C相离．理由如下：
当y=0时，﹣x+6x﹣5=0，解得x1=1，x2=5，则C（5，0）， 2
，解得，
∴BC=4， 在Rt△OAB中，AB=
=
，
作CE⊥BD于E点，如图1， ∵AB⊥BD，
∴∠ABO+∠CBE=90°， 而∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠BAO=∠CBE， ∴Rt△ABO∽Rt△BCE， ∴
=
，即=
，
∴CE=
，
∵⊙C与BD相切， ∴⊙C的半径为
，
∵点C到对称轴x=3的距离为2， 而2＞
，
∴抛物线的对称轴与⊙C相离； （3）存在．
（I）当∠PCA=90°时，如图3，CP交y轴于Q，∵A（0，﹣5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OCA=45°； ∵PC⊥AC， ∴∠PCO=45°，
∴△OCQ为等腰直角三角形， ∴OQ=OC=5， ∴Q（0，5），
易得直线CQ的解析式为y=﹣x+5，
...
...
解方程组得或，此时点P坐标为（2，3）；
（II）当∠PAC=90°时，如图4，过点P作PF⊥y轴于点F， ∵A（0，﹣5），C（5，0），
∴△AOC为等腰直角三角形，∠OAC=45°； ∵PA⊥AC，
∴∠PAF=45°，即△PAF为等腰直角三角形． 设点P坐标为（t，﹣t2+6t﹣5）， ∵AF=PF，
∴﹣5﹣（﹣t2+6t﹣5）=t解得t=0或t=7，此时点P坐标为（7，﹣12），
综上所述，存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．点P的坐标为（2，3）或（7，﹣
...
12）．
...
...
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