例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案 D
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2
命题点2 求函数的极值
3
例2 已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－a(a?R且a≠0)，求函数f(x)的极大值与极小值.
?2?
解 由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax?x－a?.
??
2
令f′(x)＝0得x＝0或a.
当a>0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下： 222x 0 (－∞，0) (0，a) (a，＋∞) a 0 0 f′(x) ＋ － ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 343?2?∴f(x)极大值＝f(0)＝1－a，f(x)极小值＝f?a?＝－a2－a＋1.
??
当a<0时，随着x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下： 222x 0 (0，＋∞) (－∞，a) (aa，0) 0 0 f′(x) － ＋ － f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 343?2???∴f(x)极大值＝f(0)＝1－a，f(x)极小值＝fa＝－a2－a＋1. ??
343?2?综上，f(x)极大值＝f(0)＝1－a，f(x)极小值＝f?a?＝－a2－a＋1.
??
命题点3 已知极值求参数
例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.
x3a21
(2)若函数f(x)＝3－2x＋x＋1在区间(2，3)上有极值点，则实数a的取值范围是( )
551010A.(2，2) B.[2，2) C.(2，3) D.[2，3) 答案 (1)－7 (2)C
解析 (1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 2
?a＋3a－b－1＝0，?a＝1，?a＝2，?解得?或? ?b－6a＋3＝0，?b＝3?b＝9，
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
1
(2)若函数f(x)在区间(2，3)上无极值，
- 29 -
11
则当x?(2，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x?(2，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立. 1110
当x?(2，3)时，y＝x＋x的值域是[2，3)；
11
当x?(2，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0，即a≤x＋x恒成立，a≤2； 1110
当x?(2，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0，即a≥x＋x恒成立，a≥3. 110
因此要使函数f(x)在(2，3)上有极值点，实数a的取值范围应是(2，3). 思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.
题型二 用导数求函数的最值
a
例4 已知a?R，函数f(x)＝x＋ln x－1.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值.
111x－1
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x＋ln x－1，x?(0，＋∞)，所以f′(x)＝－x2＋x＝x2，x?(0，＋∞).
111
因此f′(2)＝4，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为4.又f(2)＝ln 2－2，
11
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2－2)＝4(x－2)，即x－4y＋4ln 2－4＝0.
aa1x－a
(2)因为f(x)＝x＋ln x－1，所以f′(x)＝－x2＋x＝x2.令f′(x)＝0，得x＝a. ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值.
②若0
所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.
③若a≥e，则当x?(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以，当x＝e时，函数f(x)
a
取得最小值e. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值； 当0 a 当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为e. 思维升华 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)； (3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 题型三 函数极值和最值的综合问题 - 30 - ax2＋bx＋c 例5 已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0. ex(1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值. ?2ax＋b?ex－?ax2＋bx＋c?ex－ax2＋?2a－b?x＋b－c 解 (1)f′(x)＝＝. ex?ex?2令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c， 因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0，所以－3 所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点， 9a－3b＋c?＝－e3，3?e 所以有?g?0?＝b－c＝0， ??g?－3?＝－9a－3?2a－b?＋b－c＝0， － x2＋5x＋5 解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝. ex因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值， 故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者， 5 而f(－5)＝－5＝5e5>5＝f(0)， e 所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5. 答题模版系列 3.利用导数求函数的最值问题 典例 (12分)已知函数f(x)＝ln x－ax (a?R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论. 规范解答 1 解 (1)f′(x)＝x－a (x>0)， 1 ①当a≤0时，f′(x)＝x－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).[2分] 11 ②当a>0时，令f′(x)＝x－a＝0，可得x＝a， 1－ax1 当0 ax 1－ax1 当x>a时，f′(x)＝x<0， 1?? 故函数f(x)的单调递增区间为?0，a?， ?? ?1? 单调递减区间为?a，＋∞?.[4分] ?? 综上可知， 当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； 1???1? 当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为?0，a?，单调递减区间为?a，＋∞?.[5分] ???? - 31 - 1 (2)①当a≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.[6分] 11 ②当a≥2，即0 ③当1 ???? 1 所以当2 当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.[11分] 综上可知， 当0 当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.[12分] 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)； 第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范. 温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面，不准确的情况. (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题. [方法与技巧] 1.如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2.求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可. 3.当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值. 4.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小. [失误与防范] 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 3.函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. §3 定积分与微积分基本定理 1.定积分的定义 给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)： 将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0 第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[xi－1，xi]上的值最大.设 - 32 - S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋?＋f(ξi)Δxi＋?＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点δi，使f(δi)在[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋?＋f(δi)Δxi＋?＋f(δn)Δxn. 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分. b 记作?baf(x)dx，即?af(x)dx＝A. 2.定积分的性质 ①?ba1dx＝b－a. b ②?bakf(x)dx＝k?af(x)dx. b ③?b?ba[f(x)±g(x)]dx＝?af(x)dx±ag(x)dx. cb ④?baf(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx. 3.微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有?baf(x)dx＝F(b)－F(a). 易错警示系列 5.利用定积分求面积时易错点 1 典例 已知函数y＝F(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B(2，5)，C(1,0)，则函数y＝xF(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为________. 易错分析 本题在根据函数图像写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错. 112 10x，0≤x≤，10x，0≤x≤????22， 解析 由题意，F(x)＝?则xF(x)＝? 112 －10x＋10， 所以函数y＝xF(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为 1111010311011051015322222?x|?(5x?x)|???(5?)?(??)?. 10xdx?(?10x?10x)dx101?0?233383438425 答案 4 温馨提醒 (1)利用定积分求图形的面积要根据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积.(2)注意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正. [方法与技巧] 1.求定积分的基本方法： (1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a). (2)利用定积分的几何意义求定积分. 2.对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间. [失误与防范] 1.若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和. 2.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负。 专题4 三角函数、解三角形 §1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角. - 33 -
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