021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
数学(八)
(平面向量、复数的概念及运算)
时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p303]
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)
5
1．复数1＋(i是虚数单位)的模等于( )
1－2iA．4 B．5 C．22 D．2
[解析] 1＋＝1＋＝1＋1＋2i＝2＋2i，
1－2i（1－2i）（1＋2i）则它的模等于[答案] C
2．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1m
[解析] 当m＝1时，a＝b可以推出a∥b；当a∥b时， ＝?m2＝1，m＝±1，不能推
m1出m＝1.所以，“m＝1”是“a∥b”成立的充分不必要条件．
[答案] A
3．在复平面上，复数z1，z2对应的点关于直线y＝x对称，且z1z2＝4i，则复数z1的模长为( )
A．2 B.3 C.2 D．1
[解析] 设z1＝a＋bi，则z2＝b＋ai，由z1z2＝4i，可知a2＋b2＝4，所以|z1|＝2.
[答案] A
→→→→→→→
4．如图，已知AB＝a, AC＝b, DC＝3BD， AE＝2EC，则DE＝( )
a2＋b2＝
22＋22＝22. 5
5（1＋2i）
3153A.b－a B.a－b 431243153C.a－b D.b－a 43124
1→3→→1→→→3→
－AC?＝(AC－AB)－[解析] 由平面向量的三角形法则可知：DE＝DC＋CE＝BC＋??3?4433→5→35→
AC＝－AB＋AC＝－a＋b.
412412
[答案] D
5．已知不共线向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则a＋b与a的夹角是( ) ππππA. B. C. D. 12643
[解析] 法一：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b1
＝|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝3|a|. 2
12＋|a|2
|a|a·（a＋b）23π
设a与a＋b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，∴θ＝.
26|a|·3|a||a||a＋b|
→→
法二：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.
→→→→
∵|a|＝|b|，即|OA|＝|OB|，∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时OC＝a＋b，BA＝a→→→
－b.而|a|＝|b|＝|a－b|，即|OA|＝|OB|＝|BA|.
π
∴△AOB为正三角形，则∠AOB＝60°，于是∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角为. 6[答案] B
6．(多选)△ABC是底边边长为22的等腰直角三角形， P是以直角顶点C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则( )
A．BP的最大值为3
B．△ABP面积的最大值为4
→→C.AP·BP的最小值为－3 →→D.AP·BP的最大值为1＋22 [解析] 如图所示，建立直角坐标系，则： A(－2，0)，B(2，0)，P(cos θ，2＋sin θ)，易知BC＝2，所以BP的最大值为3，故A正确；又AB＝22，△ABP中，AB边上的高的1→最大值为1＋2<22，所以S△ABP<×22×22＝4，B错；由平面向量的性质可得： AP＝
2→→→
(cos θ＋2，sin θ＋2)，BP＝(cos θ－2，sin θ＋2)，由平面向量的数量积： AP·BP＝cos2θ－2＋sin2θ＋22sin θ＋2＝1＋22sin θ，据此有C错误，D正确．
[答案] AD 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．已知复数z满足(2－i)z＝－3＋4i，则z的共轭复数是________． －3＋4i－3＋4i
[解析] 因为z＝＝
52－i2－i.
[答案] －2－i
8．设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥c，b∥c，则a＋b＝
________，|a＋b|＝__________．
[解析] a⊥c?2x－12＝0?x＝6?a＝(6，2)，b∥c?－6－2y＝0?y＝－3?b＝(1，－3)?a＋b＝(7，－1)?a＋b＝52.
[答案] (7，－1)；52 →→→→→→
9．若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA ·OB＝0，则 |AB |＝________．
→→→→→[解析] 法一：设OB＝(x，y)，由|OA|＝|OB|知，x2＋y2＝10，又OA ·OB＝x－3y＝0，→
所以x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1.当x＝3，y＝1时，|AB|＝25；当x＝－3，y＝－1时，→→
|AB|＝25.则|AB|＝25.
→→→→
法二：由几何意义知，|AB|就是以OA，OB为邻边的正方形的对角线长，所以|AB|＝25. [答案] 25
10．已知△ABC，其中顶点坐标分别为A(－1，1)， B(1，2)， C(－2，－1)，点D→→
为边BC的中点，则向量AD在向量AB方向上的投影为__________．
11?→→→1→→→→?，－[解析] 因为AB＝2，1，AC＝(－1，－2)，AD＝AB＝，故AB·AD＋AC2??22
(
)(2＋i)＝－10＋5i＝－2＋i，
所以z的共轭复数是－
5
||
()
()
→→
111AB·AD115→→→＝2×－＝，由于AB＝5，所以向量AD在向量AB方向上的投影为＝×＝. 2222→510
AB
||
||
[答案]
5 10
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) →→
11．(16分)已知平面上三点A，B，C，BC＝(2－k，3)，AC＝(2，4)． (1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若△ABC中角A为直角，求k的值．
→→
[解析] (1)由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一直线上，即向量BC与AC平行，
1∴4(2－k)－2×3＝0，解得k＝.
2
→→
(2)∵BC＝(2－k，3)，∴CB＝(k－2，－3)， →→→
∴AB＝AC＋CB＝(k，1)．
→→→→
当A是直角时，AB⊥AC，即AB·AC＝0， ∴2k＋4＝0，解得k＝－2.
→3→1→12．(16分)在△ABC中， AM＝AB＋AC.
44(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
→→→→→
(2)若N为AB中点， AM与CN交于点P，且AP＝xAB＋yAC(x，y∈R)，求x＋y的值． →3→1→→→
[解析] (1)在△ABC中，AM＝AB＋AC，可得3BM＝MC，即点M在线段BC靠近B
44点的四等分点.
1
故△ABM与△ABC的面积之比为. 4→3→1→→→
(2)因为AM＝AB＋AC，AM∥AP，
44
→→→→→→→
AP＝xAB＋yAC(x，y∈R)，所以x＝3y, 因为N为AB中点，所以NP＝AP－AN＝xAB＋1→→1→→→→→→→→→→→x－?AB＋yAC，CP＝AP－AC＝xAB＋yAC－AC＝xAB＋(y－1)AC，因为NPyAC－AB＝??2?21314→
x－?(y－1)＝xy，即2x＋y＝1，又x＝3y，所以x＝，y＝，所以x＋y＝. ∥CP，所以??2?777
13．(18分)向量a＝(2，2)，向量b与向量a的夹角为(1)求向量b；
C
cos A，2cos2?，其中A，B，C是△ABC的内角，若A、(2)若t＝(1，0)，且b⊥t，c＝?2??B、C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．
[解析] (1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝
＝1＝
3π|a|cos
4a·b
x2＋y2，联立方程
3π
，且a·b＝－2. 4
???2x＋2y＝－2，?x＝－1，??x＝0，得?解得?或?
22????x＋y＝1，?y＝0?y＝－1.
∴b＝(－1，0)或b＝(0，－1)．
π(2)∵A，B，C依次成等差数列，∴B＝. 3C
cos A，2cos2 －1?＝(cos A，cos C)， ∴b＋c＝?2??1
∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋cos 2A＋cos 2C
2
()
1?4π－2A?? ＝1＋?cos 2A＋cos?3??2?113
＝1＋?cos 2A－cos 2A－sin 2A?
2?22?π1
2A＋?. ＝1＋cos?3?2?
?2π?ππ5π?，， ∵A∈?0，?，∴2A＋∈?33??33??
π1
2A＋?＜， ∴－1≤cos?3?2?15
∴≤|b＋c|2<， 24故
25≤|b＋c|<. 22
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