第七章直线与圆的方程 §7.1 直线的方程
基础自测
1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为?,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则 （ ） A.0°≤?＜180° B.0°≤?＜135° C. 0°＜?≤135° D. 0°＜?＜135° 答案 D
2.（20082全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 （ ） A.30° B.45° C.60° D.120° 答案 B
3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 ( ) A.1 B.4 C.1或3 答案 A
4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 （ ）
D.1或4
A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0 D.x+2y-5=0 答案 A
5.(20092株州模拟)一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0
例1 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C三点在同一条直线上.
证明 方法一 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），
5?33?1∴kAB=3?1=2,kBC=4?3=2，∴kAB=kBC，
∴A、B、C三点共线.
方法二 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，
∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线.
方法三 ∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴AB=（2，4），BC=（1，2），∴AB=2BC. 又∵AB与BC有公共点B，∴A、B、C三点共线.
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例2已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).
y?3试求：x?2的最大值与最小值.
y?3解 由x?2的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直
线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB, 由已知可得：A（1，1），B（-1，5），
4∴3≤k≤8，
y?34故x?2的最大值为8，最小值为3.
例3 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），
2∴l的方程为y=3x，即2x-3y=0. xy??1ab若a≠0，则设l的方程为， 32??1∵l过点（3，2），∴aa，
∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,
综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3),
2令y=0，得x=3-k,令x=0,得y=2-3k, 22由已知3-k=2-3k，解得k=-1或k=3,
∴直线l的方程为：
2y-2=-（x-3）或y-2=3(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为?， 则所求直线的倾斜角为2?.
32∵tan?=3,∴tan2?=1?tan?=-4.
2tan?又直线经过点A（-1，-3），
3因此所求直线方程为y+3=-4(x+1),
即3x+4y+15=0.
例4 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程；
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（2）|PA|2|PB|最小时l的方程.
xy??1解 方法一 设直线的方程为ab (a＞2,b＞1), 21??1ab由已知可得.
2分
2121??（1）∵2ab≤ab=1，∴ab≥8. 1∴S△AOB=2ab≥4.
4分
211xy?当且仅当a=b=2,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为42=1,即
x+2y-4=0. 6分
21（2）由a+b=1,得ab-a-2b=0,
变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|2|PB| ==≥
(2?a)2?(1?0)22
(2?0)2?(1?b)2
[(2?a)2?1]?[(1?b)2?4]
10分
2(a?2)?4(b?1).
当且仅当a-2=1,b-1=2,
即a=3,b=3时，|PA|2|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于
1???2?,0?A?k?、B（0，1-2k）.
12分
1?1??2??（1）S△AOB=2?k?（1-2k） 1??1?4?(?4k)?(?k)?? =23?1≥2（4+4）=4.
111当且仅当-4k=-k,即k=-2时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-2(x-2),即x+2y-4=0.
6分
12 ()2?14?4k2（2）|PA|2|PB|=k 4?4k2?82=k≥4,
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4当且仅当k=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分
2
1.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，
a3?b3a3?c3?a?c，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2， ∴a?b∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，
∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.
y2.（20092宜昌调研）若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么x的最大值为
（ ）
3 B.3
3C.2
1A.2
D.3
答案D
3.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程； （2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是
3y=4x,求直线l1,l3的方程.
解 （1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx中，
22得k=-5，此时，直线方程为y=-5x,
即2x+5y=0.
②当横截距、纵截距都不是零时，
yx?设所求直线方程为2aa=1，
将（-5，2）代入所设方程，
1解得a=-2，
此时，直线方程为x+2y+1=0.
综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
3（2）设直线l2的倾斜角为?,则tan?=4.
1?45?1335,
?1?cos?于是tan2=sin?=
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