压轴题放缩法技巧全总结

压轴题放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一、裂项放缩 例1(1)求 的值; (2)求证: 解析:(1)因为 ,所以 (2)因为 ,所以 技巧积累:(1) (2) (3) 例2(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 解析:(1)因为 ,所以 (2)

(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答

案

(4)首先 ,所以容易经过裂项得到

再证 而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例3求证:

解析: 一方面: 因为 ,所以 另一方面: 当 时, ,当 时, , 当 时, , 所以综上有

例4(2008年全国一卷)设函数 数列 满足 设 ，整数 证明:

解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列, 故 若存在正整数 , 使 , 则 , 若 ,则由 知 , , 因为 ,于是 例已知 ,求证: 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证 , 即等价于 ,

即等价于 而正是成立的,所以原命题成立 例6已知 , ,求证: 解析: 所以 从而 例7已知 , ,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8求证：

解析:先构造函数有 ,从而 ause 所以 例9求证:(1)

解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10求证: 解析:提示: 函数构造形式:

当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数 , 首先: ,从而,

取 有, ,

所以有 , ,…, , ,相加后可以得到: 另一方面 ,从而有 取 有, ,

所以有 ,所以综上有

例11求证: 和 解析:构造函数后即可证明 例12求证: 解析: ,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: (加强命题) 例13证明:

解析:构造函数 ,求导,可以得到: ,令 有 ,令 有 , 所以 ,所以 ,令 有, 所以 ,所以 例14 已知 证明 解析: ,

然后两边取自然对数,可以得到 然后运用 和裂项可以得到答案) 放缩思路： 。于是 ， 即

注：题目所给条 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 放缩： ， 即

例16(2008年福州市质检)已知函数 若 解析:设函数

∴函数 ）上单调递增，在 上单调递减∴ 的最小值为 ，即总有 而 即 令 则

例1(2008年厦门市质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立

(I)求证：函数 上是增函数； (II)当 ； (III)已知不等式 时恒成立， 求证：

解析:(I) ,所以函数 上是增函数 (II)因为 上是增函数,所以 两式相加后可以得到