解析: 其中: ,因为 所以 从而 ,所以 例38若 ,求证: 解析:
因为当 时, ,所以 ,所以 ,当且仅当 时取到等号 所以 所以 所以 例39已知 ,求证: 解析:
例40已知函数f(x)=x2－(－1)•2lnx(∈N*)是奇数, n∈N*时, 求证: [f’(x)]n－2n－1•f’(xn)≥2n(2n－2) 解析: 由已知得 ，
(1)当n=1时，左式= 右式=0∴不等式成立 (2) , 左式= 令
由倒序相加法得： ， 所以
所以 综上，当是奇数， 时，命题成立 例41 （2007年东北三校）已知函数
（1）求函数 的最小值，并求最小值小于0时的 取值范围； （2）令 求证：
★例42 (2008年江西高考试题)已知函数 , 对任意正数 ,证明：解析:对任意给定的 , ,由 , 若令 ，则 ① ,而 ②
（一）、先证 ；因为 ， ， ， 又由 ，得 ． 所以 ．
（二）、再证 ；由①、②式中关于 的对称性，不妨设 ．则 （ⅰ）、当 ，则 ，所以 ，因为 ， ，此时 ．
（ⅱ）、当 ③，由①得 , ， ， 因为 所以 ④ 同理得 ⑤ ，于是 ⑥ 今证明 ⑦, 因为 ，
只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ． 综上所述，对任何正数 ，皆有 ．
． 例43求证: 解析:一方面: (法二) 另一方面: 十、二项放缩 , ,
例44 已知 证明 解析: ， 即
4设 ，求证：数列 单调递增且 解析: 引入一个结论：若 则 （证略） 整理上式得 （ ） 以 代入（ ）式得 即 单调递增。 以 代入（ ）式得
此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列增，所以对一切正整数 有 。
注：①上述不等式可加强为 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有 对通项作如下放缩： 故有
单调递②上述数列 的极限存在，为无理数 ；同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且 （1）证明 ；（2）证明 （01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用 代替 得数列 是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。
当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见[1]。 例46已知a+b=1,a>0,b>0,求证：
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为 成等差数列，设 ， 从而
例47设 ，求证
解析: 观察 的结构，注意到 ，展开得 ，即 ，得证
例48求证: 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) 例42(2008年北京海淀月练习) 已知函数 ，满足： ①对任意 ，都有 ； ②对任意 都有
（I）试证明： 为 上的单调增函数； （II）求 ；
（III）令 ，试证明：
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题 (1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为 ,所以可以得到 ,
也就是 ,不妨设 ,所以,可以得到 ,也就是说 为 上的单调增函数 (2)此问的难度较大,要完全解决出需要一定的能力!
首先我们发现条不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知 ,令 ,则可以得到 ,又 ,所以由不等式可以得到 ,又 ,所以可以得到 ① 接下要运用迭代的思想: 因为 ,所以 , , ② , , ,
在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出,然后就可以得到结论 所以,综合①②③有 =
(3)在解决 的通项公式时也会遇到困难 ,所以数列 的方程为 ,从而 , 一方面 ,另一方面
所以 ,所以,综上有例49 已知函数fx的定义域为[0,1]，且满足下列条：
① 对于任意 [0,1]，总有 ，且 ；② 若 则有
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