∴OE=AC=
．
考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数
3．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD//AB，动点P、Q分别在线段OC、CD上，且DQ?OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），AB?20，cos?AOC?4．设OP?x，?CPF的面积为y． 5
（1）求证：AP?OQ；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当?OPE是直角三角形时，求线段OP的长．
3x2?60x?30050【答案】（1）证明见解析；（2）y?(?x?10)；（3）OP?8
x13【解析】 【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP?DQ，联结
OD后还有OA?DO，再结合要证明的结论AP?OQ，则可肯定需证明三角形全等，寻
找已知对应边的夹角，即?POA??QDO即可；
（2）根据?PFC∽?PAO，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件cos?AOC?意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】
（1）联结OD，∵OC?OD， ∴?OCD??ODC， ∵CD//AB， ∴?OCD??COA， ∴?POA??QDO． 在?AOP和?ODQ中，
4、以及（1）（2）中已证的结论，注5OP?DQ{?POA??QDO， OA?DO∴?AOP≌?ODQ， ∴AP?OQ；
（2）作PH?OA，交OA于H， ∵cos?AOC?∴OH?4， 5443OP?x，PH?x， 555∴S?AOP?1AO?PH?3x． 2∵CD//AB， ∴?PFC∽?PAO， ∴
yS?AOP?(CP210?x2)?()， OPx3x2?60x?300∴y?，当F与点D重合时，
x∵CD?2OC?cos?OCD?2?10?∴
4?16， 5x1050?，解得x?， 10?x16133x2?60x?30050(?x?10)； ∴y?13x（3）①当?OPE?90o时，?OPA?90o， ∴OP?OA?cos?AOC?10?4?8； 5②当?POE?90o时，
CQ?OC101025???cos?QCOcos?AOC42，
525257?16??， 222∴OP?DQ?CD?CQ?CD?∵
50?OP?10， 137（舍去）； 2∴OP?③当?PEO?90o时，∵CD//AB， ∴?AOQ??DQO，
∵?AOP≌?ODQ， ∴?DQO??APO， ∴?AOQ??APO，
∴?AEO??AOP?90o，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP的长为8．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？
【答案】（1）3；（2）【解析】
；（3）t=9s或t=（15﹣6
）s.
试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.
（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值． 试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8
cm，DC=12cm，AD=4
cm.
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm ∴t=s=3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，
则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=cm.∴t=
s.
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，
设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=∵AD=AH+DH=∴x=3． 当
≤t≤4时，SMNGN=1cm2．
x+x=
x=4
x， ，
当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2
∴S关于t的函数关系式为：（3）分两种情况：
.
①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s
故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形； ②当DC=PC时，DC=PC=12cm ∴NC=6
cm
cm=（15﹣6
）cm
）s
）s时，△CPD为等腰三角形．
）s时，△CPD为等腰三角形．
∴EN=16cm﹣1cm﹣6∴t=（15﹣6故当t=（15﹣6
综上所述，当t=9s或t=（15﹣6
考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
5．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3． （1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
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