2020-2021中考数学专题复习锐角三角函数的综合题含答案

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

8．已知：如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，连接BC交圆于点D，过点D作⊙O的切线交AC于E． （1）求证：AE＝CE

（2）如图，在弧BD上任取一点F连接AF，弦GF与AB交于H，与BC交于M，求证：∠FAB+∠FBM＝∠EDC．

339，DE＝时，N

44为圆上一点，连接FN交AB于L，满足∠NFH+∠CAF＝∠AHG，求LN的长．

（3）如图，在（2）的条件下，当GH＝FH，HM＝MF时，tan∠ABC＝

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）NL?【解析】 【分析】

4013 13（1）由直径所对的圆周角是直角，得∠ADC＝90°，由切线长定理得EA＝ED，再由等角的余角相等，得到∠C＝∠EDC，进而得证结论.

（2）由同角的余角相等，得到∠BAD＝∠C，再通过等量代换，角的加减进而得证结论. （3）先由条件得到AB＝26，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝

4a，再由相交弦定理3得到GH?HF＝BH?AH，从而求出FH，BH，AH，再由角的关系得到△HFL∽△HAF，从而求出HL，AL，BL，FL，再由相交弦定理得到LN?LF＝AL?BL，进而求出LN的长. 【详解】 解：

（1）证明：如图1中，连接AD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵EA、ED是⊙O的切线， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA，

∵∠C+∠EAD＝90°，∠EDC+∠EDA＝90°， ∴∠C＝∠EDC， ∴ED＝EC， ∴AE＝EC．

（2）证明：如图2中，连接AD．

∵AC是切线，AB是直径， ∴∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠EDC＝∠C， ∴∠BAD＝∠EDC， ∵∠DBF＝∠DAF，

∴∠FBM+∠FAB＝∠FBM+∠DAF＝∠BAD， ∴∠FAB+∠FBM＝∠EDC． （3）解：如图3中，

由（1）可知，DE＝AE＝EC，∵DE＝∴AC＝

39， 439， 2∵tan∠ABC＝

3AC＝， 4AB39∴3,

?24AB∴AB＝26，

∵GH＝FH，HM＝FN，设HM＝FM＝a，GH＝HF＝2a，BH＝∵GH?HF＝BH?AH，

4a， 344a（26﹣a）， 33∴a＝6，

∴4a2＝

∴FH＝12，BH＝8，AH＝18， ∵GH＝HF， ∴AB⊥GF， ∴∠AHG＝90°， ∵∠NFH+∠CAF＝∠AHG， ∴∠NFH+∠CAF＝90°， ∵∠NFH+∠HLF＝90°， ∴∠HLF＝∠CAF， ∵AC∥FG， ∴∠CAF＝∠AFH， ∴∠HLF＝∠AFH， ∵∠FHL＝∠AHF， ∴△HFL∽△HAF， ∴FH2＝HL?HA， ∴122＝HL?18， ∴HL＝8，

∴AL＝10，BL＝16，FL＝FH2?HL2 ＝413， ∵LN?LF＝AL?BL， ∴413?LN＝10?16， ∴LN＝

4013 . 13【点睛】

本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识有：切线的性质；切线长定理；圆周角定理；相交弦定理；相似三角形性质与判定等，熟练掌握圆的相关性质是解题关键.

9．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．

（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；

（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．

【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）BE?23. 【解析】 【分析】

（1）①补全图形即可，

②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝32，由直角三角形的性质得出FG＝DG＝2GH＝26，得出DF＝2DG＝43，在Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝23，即可得出结果． 【详解】

解：（1）①补全图形如图1所示， ②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下， 连接BG，如图2所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∵EG⊥AC， ∴∠EGC＝90°，

∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC， ∴∠GEC＝∠GCE＝45°， ∴∠BEG＝∠GCF＝135°， 由平移的性质得：BE＝CF，

?BE?CF?在△BEG和△GCF中，??BEG??GCF，

?EG?CG?∴△BEG≌△GCF（SAS）， ∴BG＝GF，

∵G在正方形ABCD对角线上， ∴BG＝DG， ∴FG＝DG，

∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°，