2020-2021中考数学专题复习锐角三角函数的综合题含答案

∴∠CGF+∠AGB＝90°， ∴∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴FG⊥DG.

（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．如图3所示, 在Rt△ADG中， ∵∠DAC＝45°， ∴DH＝AH＝32，

在Rt△DHG中，∵∠AGD＝60°， ∴GH＝DH3＝323＝6，

∴DG＝2GH＝26， ∴DF＝2DG＝43， 在Rt△DCF中，CF＝∴BE＝CF＝23．

?43?2?62＝23，

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

10．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；

(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；

(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；

（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；

（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形． 【详解】

（1）直线PD为⊙O的切线， 理由如下： 如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠BDO=90°， 又∵DO=BO， ∴∠BDO=∠PBD， ∵∠PDA=∠PBD， ∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD， ∵点D在⊙O上，

∴直线PD为⊙O的切线； （2）∵BE是⊙O的切线， ∴∠EBA=90°， ∵∠BED=60°， ∴∠P=30°， ∵PD为⊙O的切线， ∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3， ∴tan30?∴PO?0OD，解得OD=1， PDPD2?OD2=2，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1； （3）如图2，

依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF， ∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF， ∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF， ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°，

设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°， ∵四边形AFBD内接于⊙O， ∴∠DAF+∠DBF=180°， 即90°+x+2x=180°，解得x=30°， ∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°， ∵BE、ED是⊙O的切线， ∴DE=BE，∠EBA=90°，

∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形， ∴BD=DE=BE，

又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BD=DF=BF， ∴DE=BE=DF=BF， ∴四边形DFBE为菱形.

【点睛】

本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．

11．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF?AE，连接DE，DF，EF. FH平分?EFB交BD于点H.

（1）求证：DE?DF； （2）求证：DH?DF：

（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）EF?2AB?2HM，证明详见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据正方形性质， CF?AE得到DE?DF.

（2）由△AED≌△CFD，得DE?DF.由?ABC?90?，BD平分?ABC， 得?DBF?45?.因为FH平分?EFB，所以?EFH??BFH.由于

?DHF??DBF??BFH?45???BFH,?DFH??DFE??EFH?45???EFH,