所以DH?DF.
（3）过点H作HN?BC于点N，由正方形ABCD性质，得
BD?AB2?AD2?2AB.由FH平分?EFB，HM?EF,HN?BC，得
?HNB?90?，所以BH?HM?HN.因为?HBN?45?，由EF?HN?2HN?2HM.
sin45?DF?2DF?2DH，得EF?2AB?2HM.
cos45?【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD?CD，?EAD??BCD??ADC?90?. ∴?EAD??FCD?90?. ∵CF?AE。 ∴△AED≌△CFD. ∴?ADE??CDF.
∴?EDF??EDC??CDF??EDC??ADE??ADC?90?. ∴DE?DF.
（2）证明：∵△AED≌△CFD， ∴DE?DF. ∵?EDF?90?， ∴?DEF??DFE?45?.
∵?ABC?90?，BD平分?ABC， ∴?DBF?45?. ∵FH平分?EFB， ∴?EFH??BFH.
∵?DHF??DBF??BFH?45???BFH,
?DFH??DFE??EFH?45???EFH, ∴?DHF??DFH. ∴DH?DF.
（3）EF?2AB?2HM.
证明：过点H作HN?BC于点N，如图，
∵正方形ABCD中，AB?AD，?BAD?90?， ∴BD?AB2?AD2?2AB.
∵FH平分?EFB，HM?EF,∴HM?HN.
HN?BC，
?HNB?90?， ∵?HBN?45?，∴BH?HN?2HN?2HM.
sin45?∴DH?BD?BH?∵EF?2AB?2HM.
DF?2DF?2DH，
cos45?∴EF?2AB?2HM. 【点睛】
本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.
12．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－
x－
与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP : PH＝3 : 2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦ATMK＝a，如果存在，请求出a的值；如交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·果不存在，请说明理由．
【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2 （2） （3）a=4 【解析】 【分析】 （1）在直线y＝－
x－
中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接；
MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；
（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；
（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知， ∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论． 【详解】
（1）OE=5，r=2，CH=2
（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，
易知△CHP∽△DQP，故
，得DQ=3，由于CD=4，
；
（3）如图2，连接AK，AM，延长AM， 与圆交于点G，连接TG，则
由于而在
和
，故中，
，，故，
；
；
故△AMK∽△NMA
;
即：
故存在常数，始终满足常数a=\
解法二：连结BM，证明得
∽
13．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：
≈1.73）
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