第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题
圆锥曲线中的定点问题
[方法结论]
定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．
x2y2
[典例](2017·洛阳模拟)设椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆
ab上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.
解析：(1)法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0－y0)，则D(
a－x0
，－)， 22
y0
3y0→→→→a－3x0
∵B，F，D三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝(，－)，
223a－3x0
∴－y0(c－x0)＝－y0·，
221∴a＝3c，从而e＝.
3
1→→
法二：设直线BF交AC于D，连接OD，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊AB，∴AB∥OD，
2∴△OFD∽△AFB. ∴
11＝，解得a＝3c，从而e＝. a－c23
c(2)∵F的坐标为(1,0)， ∴c＝1，从而a＝3，∴b＝8. ∴椭圆E的方程为＋＝1.
98
2
x2y2
- 1 - / 7
设直线l的方程为x＝ny＋1，(n≠0)
x＝ny＋1??22由?xy＋＝1??98
?(8n＋9)y＋16ny－64＝0，
2
2
－16n－64
∴y1＋y2＝2，y1y2＝2，其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．
8n＋98n＋9∴直线AM的方程为＝∴P(9，
yx－3
，
y1ny1－2
6y16y2
)，同理Q(9，)， ny1－2ny2－2
36×－64
2
8n＋9
＝64＋ 22＋4－64n32n＋2＋42
8n＋98n＋9
6y16y236y1y2→→
从而FP·FQ＝(8，)·(8，)＝64＋2
ny1－2ny2－2ny1y2－2ny1＋y236×－64
＝64＋＝0.
36
∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F. [类题通法]
定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明，求解的方法常见的有如下两种： (1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；
(2)曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关．
[演练冲关]
(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过M作x轴的垂线，垂
2→→
足为N，点P满足NP＝2NM. (1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. →→
解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)， 2→→
由NP＝2NM得x0＝x，y0＝y.
2因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则 →
2
2
x2
2
x2y2
OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，
→
- 2 - / 7
→→
OQ·PF＝3＋3m－tn， →
OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)，
→→2222
由OP·PQ＝1得－3m－m＋tn－n＝1，又由(1)知m＋n＝2，故3＋3m－tn＝0.
→→→→
所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
圆锥曲线中的定值问题
[方法结论]
解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握
(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．
→
x2y22
[典例](2017·沈阳模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－6，0)，e＝.
ab2
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x－x0)＋(y－y0)＝4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值． (3)在(2)的条件下，试问|OP|＋|OQ|是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 2xy解析：(1)由题意得，c＝6，e＝，解得a＝23，∴椭圆C的方程为＋＝1.
2126(2)由已知，直线OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，且与圆R相切， ∴
|k1x0－y0|222
＝2，化简得(x－4)k－2xyk＋y010010－4＝0， 2
1＋k1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
同理，可得(x0－4)k2－2x0y0k2＋y0－4＝0，
∴k1，k2是方程(x0－4)k－2x0y0k＋y0－4＝0的两个不相等的实数根，
2
2
2
y20－4
∴x－4≠0，Δ＞0，k1k2＝2. x0－4
20
122
∵点R(x0，y0)在椭圆C上，∴＋＝1，即y0＝6－x0，
1262
x20y20
- 3 - / 7
122－x0
21
∴k1k2＝2＝－.
x0－42(3)|OP|＋|OQ|是定值18.
2
2
?22
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得?xy＋＝1??126
2
2
1
21
?y＝k1x
??，解得?12ky＝??1＋2kx21＝
21
21
2
12
2
1＋2k1
21
2121
，
121＋k1121＋k222
∴x＋y＝，同理，可得x2＋y2＝ 22
1＋2k11＋2k21
由k1k2＝－，
2
121＋k1＋2k2121
得|OP|＋|OQ|＝x1＋y1＋x2＋y2＝
222222
＋
12
1＋k1＋2k2222
＝
12
1＋k1＋2k1
12[1＋－
2k1
＋
1
1＋2－
2k1
2
]
2
18＋36k1＝2＝18. 1＋2k1
综上：|OP|＋|OQ|＝18. [类题通法]
定值问题在求解时注意“设而不求”思想方法的灵活运用，即引入参变量，用它来表示有关量，进而看能否把变量消去．“先猜后证”法是解决这类问题的有效方法，也就是先由特殊情形探求出定值或定点，进而证明它适用所有情形．
[演练冲关]
2
2
2
x2y23
(2016·高考北京卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，
ab2
△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．
??
解析：(1)由题意得?1
ab＝1，2??a＝b＋c，
2
2
2
c3
＝，a2
解得a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
4
x2
2
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