线性代数试题
一 填空题
◆1． 设A为3阶方阵且A?2，则3A?1?2A?? ； 【分析】只要与A*有关的题，首先要想到公式，AA?AA?AE，从中推
你要的结论。这里A?AA*?1**?2A?1代入
?1 A3A?1?2A???A?1?(?1)3A?1?注意： 为什么是(?1)
3◆2． 设?1??1??2,?2??2??3,?3??3??1， 如?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,?3线性______(相关) 如?1,?2,?3线性无关，则?1,?2,?3线性______(无关)
【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘
法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。
?101??，记此为
[?1,?2,?3]?[?1,?2,?3]?110B?AK ????011??这里r(B)?r(AK)?r(A)，
切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！
你来做 下面的三个题：
（1）已知向量组?1,?2,?,?m（m?2）线性无关。设
?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m,?m??m??1
试讨论向量组?1,?2,?,?m的线性相关性。（答案：m为奇数时无关，偶数时相关） （2）已知?1,?2,?3线性无关，试问常数m,k满足什么条件时，向量组
k?2??1,m?3??2,?1??3
线性无关？线性相关？（答案：当mk?1时，无关；当mk?1时，相关） （3）教材P103第2(6)题和P110例4和P113第4题
◆3． 设非齐次线性方程Am?4x?b，r(A)?2，?1,?2,?3是它的三个解，且
１
?1??2?(3,4,6,7)T,?2??3?(1,2,3,4)T,?3??1?(2,3,4,5)T
求该方程组的通解。(答案：x?唯一)
【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数）
是多少，通解是如何构造的。其次要知道解得性质。
你再做 教材P147第3题
◆4． 当k? 时，??(1,k,5)能由?1?(1,?3,2),?2?(2,?1,1)线性表示
（答案k??8）
【分析】一个向量能否用一个向量组表示的问题，可转化为非齐次方程组有无解的问题。
T你来做：设??(2,?1,t?2)，?1?(t?1,1,1)，?2?(1,t?1,1)，?3?(1,1,t?1)，
1(2,3,5,6)T?k1(1,1,1,1)T?k2(1,1,2,2)T，形式不 2TTT问t为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示；?能由?1,?2,?3线性表示且表法唯 一；?能由?1,?2,?3线性表示且表法无穷多并写出所有的表示方法。
注意： 关于含参数的方程组求解，如果系数矩阵是方阵，用行列式的方法往往简单，如
果不是方阵只有用初等行变换的方法了。
◆5． 设?1?13(1,1,1)T，求?2,?3使Q???1,?2,?3?为正交矩阵
【分析】求与一个向量正交的问题，就是解方程组的问题
?1Tx?0
当然要根据题之要求，还要使用Schimidt正交化，单位化过程（答案：详见教材P117 例3，还要再单位化）
你写一写
正交矩阵的充要条件有哪些，如果给你两个正交向量求一个向量与它们都正交 你也应该会！
二 选择题
◆1． 设A,B为满足AB?0的两个非零矩阵，则必有
(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关
２
(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关
【分析】遇到Am?nBn?p?0，就要想到r(A)?r(B)?n以及B的列向量均是线性方程组
Ax?0的解。
另外： 遇到C?AB要想到C的列组都是A的列组的线性组合，C的行组都是B的行组
的线性组合。从这个角度也可做此题，你来想想。
◆2．设r(Am?n)?m?n，则（ ）（多选）。
??[Em,O] （Ａ）A???[Em,O] （Ｂ）A?（Ｃ）对?b?R，Ax?b必有无穷多解 （Ｄ）若BA?O?B?O （Ｅ）ATA?0(答案:B,C,D,E)
【分析】
（I） (A)和(B)是化标准形的问题。这里A是行满秩矩阵，必有m阶子式非零，这个
m阶子式所在的行就是A的所有的行，只用列变换可把它所在的m列调到前面来
CA???[Bm?m,C]
crn此时B是非奇异矩阵，可只用列变换化为单位矩阵，然后用此单位矩阵只用列变换 把后面的矩阵C消为零。故（B）是对的。（A）不对。
（II） 对于（C）要知道，如果A是行满秩矩阵，则Ax?b一定是有解的，这是因
为m?r(Am?n)?r(Am?n,b)?m?r(A)?r(A,b)
至于是否有唯一解还是有无穷多解还要把增广矩阵的秩（即独立方程组的个数）与 未知数的个数（即A的列数比较），由题设r(Am?n)?m?n，故有无穷多解（C） 也是对的。
（III） 对于(D)这是书上定理AX?O只有零矩阵解的充要条件是A是列满矩阵的
T变形BA?O?AB?O这里A是列满秩,故(D)也是对的。
TT（IV） 对于（E）要了解形如AA的是一个非常重要的矩阵，你必须知道这两个结
T论一是AA是一个对称半正定的矩阵（这用x(AA)x?0是很容易证明的），二 T是r(A)?r(AA)（这是书上的例题）。用第二个结论立即知AA可逆（实际上是
TTTT３
对称正定）的充要条件是A是列满秩。这样就（E）是对的。
另外： 对于Am?nBn?m型的矩阵，如果m?n，一定有Am?nBn?m?0（这是因为
r(Am?nBn?m)?r(A)?n?m），记忆方法：高的矩阵乘矮的矩阵一定不可逆的（如
果是方阵的话）
◆3． 设A为n阶可逆矩阵(n?2)，交换A的第1行与第2行得矩阵B，则（ ）
（Ａ）交换A*的第１列与第２列得B* （Ｂ）交换A*的第１行与第２行得B* （Ｃ）交换A*的第１列与第２列得?B*（Ｄ）交换A*的第１行与第２行得?B*
【分析】对于此类题你不仅要熟悉伴随矩阵的运算还要熟悉初等矩阵的性质。交换A和第1
行和第2行得B，则有E(i,j)A?B（左行右列原则），从而?A?B，由此关系 找A与B的关系：
**B*?BB?1??AA?1E(i,j)?1??AA?1E(i,j)??A*E(i,j)
由此知(C)是对的。
◆4． 设A为方阵，?1,?2是齐次线性方程组Ax?0的两个不同的解向量，则（ ）是
A的特征向量
（A）?1与?2，（B）?1??2，（C）?1??2，（D）（A）、（B）、（C）都是 【分析】齐次方程组有有两个不的解，当然必有非零解，从而必有特征值0，对应的特征向
量就是其非零解。这里要选（C）才能保证是非零的。把此题变化一下： 设?1,?2是齐次线性方程组Ax?0的两个不同的解向量，r(Am?n)?n?1， 则（ ）是Ax?0的基础解系。
（A）?1（B）?2，（C）?1??2，（D）?1??2
?1??1?相似的矩阵是（ ）
◆5． 与矩阵??（答案：B）
???2????110??100??111??100???（B）?011?，??（D）?110?
（A）010，（C）010，
?????????????002???002???002???1?12??【分析】首先相似矩阵有相同的特征值，都是1（二重）和2（单重），如有不是的就该排除，
这里没有。这就要靠矩阵可对角化的充要条件是任一特征值的重数等于它所对应的
４
无关特征向量的个数（也称几何重数）去判别。即ni?n?r(?iE?A)亦即
r(?iE?A)?n?n?ni，对于单重的不需要考虑（这是为什么？），只需考虑多
重的。这里只需考虑 r(1?E?A)3?2?1
三 计算题
?122?2222?2◆1． 计算行列式Dn?223?2
?????222?n提示 此行列式特点是对角元不等，其余相等。每一行减第一行。你还有更好的方法吗。 答案 ?2?(n?2)!）
评注 关于行列式的计算重点掌握化三角形，以及特殊分块行列式的计算
?1?◆2． 解矩阵方程?(A)*?XA?1?2AX?12E
?2??1?1其中A???0??00?300??，求X 002??0?10?20?1提示 先化简方程为： X(4E?2A)?12E
?2?40??2?20答案 X???002?0?1?00?0?? 2??2?评注 关于解矩阵方程一定要先化简，变为如下形式之一
AX?B,XA?B,AXB?C
主要考察矩阵的基本运算，矩阵求逆等知识。
注意 左乘还右乘的关系，这是同学们最容易错的。 ◆3． 设向量组
?1??1,2,3,4?,?2?(2,3,4,5)T,?3?(3,4,5,6)T,?4?(4,5,6,7)T
T 求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。
５
相关推荐：
loading