数学史

刘徽的数学人生

摘要：本文首先简介刘徽的背景，然后从介绍刘徽的主要著作《九章算术注》和《海岛算经》及其产生，再之分别从代数、算术、几何三方面阐述刘徽在数学上的贡献和刘徽的贡献对后来人们研究数学的影响，最后讲明刘徽的贡献对当今数学教育的影响。 关键词：刘徽 数学贡献 数学著作

刘徽，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，是中国数学史上非常伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出地位。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思维敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

《九章算术》是我国古代数学园地中的一朵奇葩。它的内容之丰富，水平之高,影响之大，堪称中国古代数学著作之最，可与欧几里得的《几何原本》媲美。只是这部伟大的数学著作叙述得比较简略，特别是未能说明公式的来源或推导过程，因此令人费解。魏晋时期数学家刘徽“幼习 《九章》，长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源，探嗽之暇遂悟其意。”他在掌握《九章算术》全部内容的基础上，以他深厚的数学功底，卓越的数学才能,历尽艰辛，给《九章算术》作了全面、系统的注释。在注释中，他不仅对一些公式和定理给出了逻辑的证明，还对一些概念给出了严格的定义，因而创立了完整的数学理论，使这部中国古代的数学著作熠熠生辉。公元263（魏景元四年），刘徽的《九章算术注》终于问世了，书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献。

《海岛算经》由刘徽于魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有

问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。《海岛算经》是中国最早的一部测量数学事着 ，亦为地图学提供了数学基础。全书有九道题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。。如第一题（译为今文）：为测量海岛，立两根3丈高的标杆，前后相距1000步，令后杆与前杆对齐。从前杆后退123步，人眼着地看岛峰，视线正好过杆顶．从后杆后退127步，人眼着地看岛峰，视线也过杆顶．问岛高和岛离杆的距离各是多少？这是书中最简单的一题，只须测望二次。其他问题往往要测望三次或四次，但原理与本题相同。

《海岛算经》是一部影响久远的测算专著。它所详细揭示的重差测量理论和方法，成为古代测量的基本依据，为实现直接测量（步量或丈量）向间接测量的飞跃架起了桥梁。直到今天，重差测量理论和方法在某些场合仍有借鉴意义。

在算术方面，刘徽之前，计算中遇到奇零小数时，就用带分数表示，或者四舍五入．刘徽首创十进分数，用以表示无理根的近似值。刘徽用忽来表示，但a后各位就不必再命名了，刘徽称它们为“微数”，说：“微数无名者以为分子，其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细。”这种方法，与我们现在开平方求无理根的十进小数近似值的方法一致

《九章算术》中虽有分数通分的方法，但没有形成完整理论，刘徽提出齐同术，使这一理论趋于完善。他说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。”又进一步提出通分后数值不变的理论依据，即“一乘一除，适足相消”，故所分犹存“法实俱长，意亦等也”。前句话的意思是，一个分数用同一个(非零)数一乘一除，其值不变；后句话的意思是，分数的分子、分母扩大同一倍数，分数值不变．刘徽指出，“同”即一组分数的公分母，“齐”是由“同”而来的，是为了使每个分数值不变。另外，刘徽还将齐同术引而伸之，用来解释方程及“盈不足”问题。

在代数方面，《九章算术》中的线性方程组解法以及正负数加减运算是当时世界上无与伦比的两项重大成就。线性方程组解答比欧洲早1500年，正负书加减运算也比欧洲早了1200多年，而这两项算法以完整的理论说明的正是刘徽，他第一个给出了方程的定义并揭示了方

程组的同解原理。对于负数，刘徽的定义可以说是经典性的。他把正与负看成相对存在的数的两种情况，从这一认识出发，刘徽在世界数学史上第一个采用了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法。他还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开平方法做出了直观解释，这种方法对于帮助我们准确理解和掌握开方程序是非常有益的。此外，他有区平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法，不仅明显具有近代特征，而且比欧洲最早的小数斯蒂文的小数记法要早1300多年。

在几何方面，刘徽的贡献尤为突出，他是具有中国特色的传统几何理论的奠基者。他以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明，哲学方法包括“圆形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等，其中最常用的是图行割补法，这是他提出的“解体以图”的目标是一致的。刘徽对于用图很考究，不仅对插图施一颜色，用黄、朱、青三种颜色标出各种不同的图形。而且强调要“按图为位”，使图形与文字互相对照。特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体图形割补法尤为出色。

在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π≈3.14，化作分数是157/50的结果，这也是著名的“徽率”。他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形??，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了3072边形面积并验证了这个值。刘徽还进一步声明：“此率尚微小”，沿用这一方法可得到更为精确的近似值。刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。

在几何上，像阿基米德一样，刘徽集中精力研究了面积与体积的推导，并取得了超越时代的漂亮结果。刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，就是“出入相补”原理：一个几何图形（平面或立体的）被分割成若干份后，面体或体积的总和保持不变。

刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥和直角四面体的体积比恒为2︰1，解决了一般例题体积的关键问题。为了求得由底为直角三角形的直棱柱分割而成的一个四棱锥与一个三棱锥的体积只比，他采用无限分割、逐次拼合的方法建立了“刘徽原理”。

在研究各种体积问题时，他又创造性地运用两立体图形相应截面面积之间的关系确定它们体积之间的关系，200多年后被祖冲之的儿子概括为著名的“祖暅原理”。

刘徽在学习《九章算术》时对少广章的“开立圆术”给出的球体积（V3）计算方法相当于公式v=9/16d（这里的d为球直径）的这一公式的正确性产生了怀疑，他娴熟地使用截面法进行了验证，发现内切圆柱的体积（V2）与正方体的体积（V1）之比为?，在《九章算术》取?=3的情况下，只有在内切球与圆柱的体积之比也是?时，

3

44上述近似公式才成立，而实际上后者是不是成立，这值得我们怀疑。为了说明这一点，刘徽有引入了一种新的立体：一正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”。他用截面法证明内切球与

“牟合方盖”的体积之比为?“牟合方盖”的体积比圆柱

4，而明显可以知道，

要小，故上述公式是错误的。显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以求出。但对于牟合方盖的体积如何算出，刘微百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”。

刘徽不仅注重数学的理论研究，而且也注重数学的实际应用。他在为《九章算术》作注的同时，还实际处理了许多测量问题。他的另一部著作《海岛算经》，就是在测量的具体实践过程中总结而成的关于“测高望远之术”的专著。

从《九章算术注》可以看到，刘徽具有明确的极限思想。他把极限用于代数和几何研究，取得重要成果．这说明极限思想从春秋战国时期萌芽以后，到这时已有较大发展。例如，刘徽的割圆术便建立在极限理论的基础上。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”就是说当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形面积的极限便是圆的面积。他还把割圆术用于求弓形面积。

刘徽在研究开方不尽的问题时，认为求出的位数越多，就越接近真值，但永远不会达到真值，只能根据需耍，求到虽“有所弃之数，不足言之也”的程度。刘徽正是在这种极限观念的基础上创立十进分数的。他在征明有关体积的定理(如阳马定理)时也用到极限，并深刻地指出，极限问题“谓以情推，不用筹算”，就是说研究极限靠思维和推理而不靠具体计算。

刘徽所以能在数学上取得卓越成就，是与他先进的学术思想分不开的。概括起来，他的学术思想有如下特点：