概率论与数理统计(经管类)复习要点 第5章 大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理

1. 概率统计是研究随机变量统计规律性的数学学科，而随机变量的规律只有在对大量随机现象的考察中才能显现出来。研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理进行研究，极限定理的内容非常广泛，比如大数定律、中心极限定理。

大数定律的客观背景：大量随机试验中，事件发生的频率稳定于某一常数，测量值的算术平均值具有稳定性。

2. 切比雪夫不等式

方差描述随机变量的概率分布对期望的分散程度。

设电站供电网有10000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800-7200的概率。

解：设X表示在夜晚同时开着的电灯的数目，它服从参数n=10000，p=0.7的二项分布，于是有

D（X）= E（X2）-[ E（X）] 2

E（X）=np=10000×0.7=7000 D（X）=npq=10000×0.7×0.3=2100 ?｛6800

可见，虽然有10000盏灯，但是只要有供应

2017.10填

解：设X服从参数n=1000，p=0.5的二项分布，E（X）=500，D（X）=250 25039?｛400

设 m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε>

7000盏灯的电力就足够以相当大的概率保证够0 ，有

用。

贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率的概率很小。——概率是频率的稳定值

m与事件A的概率p有较大偏差n 1 / 3

事件发生的频率可以代替事件的概率。 4. 独立同分布随机变量的切比雪夫大数定律

5. 中心极限定理

在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的。

例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的，那么弹着点服从怎样分布哪 ？

独立同分布序列的中心极限定理

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

2018.4应

解：设任一时刻访问该网站的用户数为随机变量X，则X~B（10000，0.5）； 可得，E（X）=10000×0.5=5000，D（X）=10000×0.5×0.5=2500

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